Integraaal!

[ola_nordmann]

Finn det ubestemte integralet
[tex]\int\limits\frac{x+2}{x^2+x}[/tex]

Løsning: 2ln(x)-ln(x+1)

Klarte å finne integralet ved hjelp av delbrøkoppspalting, men finnes det noen enklere/kortere måte å løse denne på? Brukte trekvart-side på å føre denne ordentlig, noe som virker litt overdrevet.

[Dinithion]

Kan alltids bruke et lite triks, og skille ut et 1-tall i telleren, samt å faktorisere nevner. Du må riktig nok delbrøkoppspalte dette utrykket også, men det er mye enklere.

[tex]\int \frac{x+1 + 1}{x(x+2)} dx = \int \frac{\cancel{x+1}}{x\cancel{(x+1)}} + \frac{1}{x(x+1)} dx[/tex]

Med mindre du gjorde denne forenklingen allerede? I såfall så bruker den en knotete metode å delbrøkoppspalte på..

[Nebuchadnezzar]

Slik ville jeg gjort det. Er fortsatt brøkoppspalting, men her kan man bare legge til å trekke fra 1 mener jeg. Ganske lett å dele opp brøken

[tex] \int {\frac{{x + 2}}{{{x^2} + x}}} dx [/tex]

[tex] \int {\frac{1}{{x + 1}}} dx + 2\int {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}} [/tex]

[tex] \int {\frac{1}{{x + 1}}} dx + 2\int {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} dx [/tex]

[tex] \ln \left| {x + 1} \right| + 2\left( {\ln \left| x \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right) + C [/tex]

[tex] \ln \left| x \right| - \ln \left| {x + 1} \right| + C [/tex]

[tex] \ln \left| {\frac{x}{{x + 1}}} \right| + C [/tex]

[Ostbågar]

[tex] \ln \left| {x + 1} \right| + 2\left( {\ln \left| x \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right) + C [/tex]

[tex] \ln \left| x \right| - \ln \left| {x + 1} \right| + C [/tex]

2-tallet ble spist opp

[ola_nordmann]

Aha, dette her var mye mer effektivt.
Takk for hjelpen, begge to!

[Integralen]

Med delbrøkoppspalting er det om å få nevneren skrevet i førstegradsledd:

[tex] \int {\frac{{x + 2}}{{{x^2} + x}}} dx [/tex]

[tex] \int {\frac{{x + 2}}{ x(x+1)} dx [/tex]

[tex] \frac{{x + 2}}{ x(x+1)}=\frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} [/tex]

[tex] \frac{{x + 2}}{ x(x+1)}=\frac{A(x+1)+Bx}{(x+1)x} [/tex]

[tex]\frac{(A+B)x+A}{(x+1)x[/tex]

Ifølge:
[tex] \frac{{x + 2}}{ x(x+1)}=\frac{(A+B)x+A}{(x+1)x[/tex]

må:
[tex]A+B=1[/tex]
[tex]A=2[/tex]
som videre gir:
[tex]B=-1[/tex]
[tex]A=2[/tex]

[tex] \int {\frac{{x + 2}}{{{x^2} + x}}} dx=\int \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} dx [/tex]

[tex] \int {\frac{{x + 2}}{{{x^2} + x}}} dx=\int \frac{2}{x} - \frac{1}{x+1} dx=2 \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x+1}dx=2ln(x)-ln(x+1)+C[/tex]