Multiplisere tall fra 1 til 100!

[seigemannen]

finnes det en snarvei til å multiplisere alle tallene fra 1 til 100 med hverandre?

svar mottas med stor takknemelighet!

[Fibonacci92]

Hvis du tillater kalkulatorbruk kan du skrive 100! på kalkulatoren eller i google.

100! = 100*99*98............*2*1

[seigemannen]

jeg prøvde det du sa men fikk opp ett helt vanvittig tall

[Nebuchadnezzar]

Meningen er jo at svaret skal bli stort

93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

[seigemannen]

jeg trykka inn 4! på google slik at jeg hadde muligheten til å kontrollere fremgangsmåten.

da viste det seg at google hadde regna feil "4 ! = 24"

men når jeg regna det ut på papir fikk jeg svaret 35
måten jeg gjorde det på: 1*2+1*3+1*4+2*3+2*4+3*4

[Fibonacci92]

Åja! Du ber om summen av to og to tall ganget sammen med hverandre?

Denne summen tror jeg uten å være alt for sikker at blir

1/2 * (1/2 *101*100)^2

[Fibonacci92]

EDIT: DETTE ER FEIL

Jeg skal forklare hvordan jeg kom frem til svaret!

Summen av de 100 første tallene er 100*99 * 1/2

For å komme frem til det kan du bruke dette trikset:

Summen (1 til 100) = 1 + 2 + 3 + ........ + 99 + 100
Summen (1 til 100) = 100 + 99 + 98 + ........ + 2 + 1

Vi plusser rekkene sammen og får:


Summen (1 til 100) = 1 + 2 + 3 + ........ + 99 + 100
Summen (1 til 100) = 100 + 99 + 98 + ........ + 2 + 1
_______________________________________________
2* Sum (1 til 100) = 101 + 101 + 101 ........ + 101 + 101

Vi plusser 101 med seg selv 100 ganger og får dermed at

2* Sum (1 til 100) = 101*100

Deler på to på begge sider og får at

Sum(1 til 100) = 101*100 * 1/2

Ved å multiplisere alle tallene fra 1 til 100 med hvert av de andre får vi dette uttrykket:

(1 + 2 +3 + ...... + 99 + 100) * (1 + 2 + 3 ...... + 99 + 100) * 1/2
= 1/2 * (1 + 2 + 3 ...... + 99 + 100) ^2

(Vi deler på to fordi tar vi med både 1*100 og 100*1 og både 100*2 og 2*100 osv... når vi ganger ut parantesen)

Men vi vet jo at 1 + 2 + 3 ...... + 99 + 100
= 101*100*1/2 = 5050

Svaret blir derfor:
1/2 * (1 + 2 + 3 ...... + 99 + 100) ^2 = 1/2* 5050^2 = 12751250



Her kan det være mye uklart siden jeg ikke vet hvor mye du kan fra før. Bare spør hvis du lurer:D

EDIT: OPS! Jeg la merke til at jeg har tatt med 1*1 + 2*2 osv i svaret mitt...

Bruker formelen for summen av de n første kvadrattallene: 1/6 * n(n+1)(2n+1)

Summen av de 100 første kvadrattallene blir da: 1/6*100*101*201 =
338350

Så svaret blir 12751250-338350= 12412900

Håper jeg har gjort det rett denne gangen..

EDIT: DETTE ER FEIL

[seigemannen]

jeg brukte formelen din med 4-tallet men fikk 18 som svar.

beklager jeg er vg1-elev så jeg ser ikke bort fra at det er jeg som gjør noe feil her

[seigemannen]

Jeg skal forklare hvordan jeg kom frem til svaret!

Summen av de 100 første tallene er 100*99 * 1/2

For å komme frem til det kan du bruke dette trikset:

Summen (1 til 100) = 1 + 2 + 3 + ........ + 99 + 100
Summen (1 til 100) = 100 + 99 + 98 + ........ + 2 + 1

Vi plusser rekkene sammen og får:


Summen (1 til 100) = 1 + 2 + 3 + ........ + 99 + 100
Summen (1 til 100) = 100 + 99 + 98 + ........ + 2 + 1
_______________________________________________
2* Sum (1 til 100) = 101 + 101 + 101 ........ + 101 + 101

Vi plusser 101 med seg selv 100 ganger og får dermed at

2* Sum (1 til 100) = 101*100

Deler på to på begge sider og får at

Sum(1 til 100) = 101*100 * 1/2

Ved å multiplisere alle tallene fra 1 til 100 med hvert av de andre får vi dette uttrykket:

(1 + 2 +3 + ...... + 99 + 100) * (1 + 2 + 3 ...... + 99 + 100) * 1/2
= 1/2 * (1 + 2 + 3 ...... + 99 + 100) ^2

(Vi deler på to fordi tar vi med både 1*100 og 100*1 og både 100*2 og 2*100 osv... når vi ganger ut parantesen)

Men vi vet jo at 1 + 2 + 3 ...... + 99 + 100
= 101*100*1/2 = 5050

Svaret blir derfor:
1/2 * (1 + 2 + 3 ...... + 99 + 100) ^2 = 1/2* 5050^2



Her kan det være mye uklart siden jeg ikke vet hvor mye du kan fra før. Bare spør hvis du lurer:D

dette skjønte jeg svært lite av. jeg tror du har en god del bedre tallforståelse enn meg

[Nebuchadnezzar]

[tex]\frac{(k-1) k (k+1) (3 k+2)}{24}[/tex]

Denne skal stemme når [tex]n \geq 2[/tex]

Følte meg veldig stolt når jeg klarte å finne det ut.

[Fibonacci92]

Beklager. Det er jeg som roter dette til. Var for kjapp til å svare uten egentlig å ha løst oppgaven.

Du har lyst å finne summen av å gange to og to tall fra 1 til 100 med hverandre.

Jeg skal bruke to formler for å finne svaret:

Nummer 1:

1 + 2 + 3 + ..... + n = n(n+1)* 1/2

Nummer 2:

1^2 + 2^2 + 3^2 + .......... + n^2 = 1/6* n(n+1)(2n+1)


Hvis du vil ha bevis for disse formlene skal jeg vise deg etterpå.


Se på dette regnestykket:

(1 + 2 + 3 ..... + 99 + 100)*(1 + 2 + 3 ..... + 99 + 100)

Hvis du begynner å gange ut ledd for ledd oppdager du at du får:
1*1 + 1*2 + 1*3 +........ + 1*100
2*1 + 2*2 + 2*3 + ........ + 2*100
..
..
100*1 + 100*2 + 100*3 + ......... + 100*100

Ved å bruke formel 1 får vi at 1 + 2 + .... + 100 = 1/2*100*(100+1) = 5050

og dermed at
(1+ 2 + .... + 100 )*(1+2+ .... + 100) = 5050^2 = 25502500

Dette er nesten det du vil finne summen av! Det er to problem:

Problem 1:

Vi ser at vi får ved å gange sammen parantesene så teller vi også med leddene 1*1 ,2*2, 3*3 ..... og 100*100, som vi ikke vil ha med i summen vår, fordi tallene vi ganger sammen skal være forskjellige!

Dette fikser vi ved å trekke fra disse tallene.

Ved å bruke formel 2 får vi at

1^2 + 2^2 + .... + 100^2 = 1/6* 100(100+1)(2*100+1) = 338350

Og dette skal vi altså trekke fra 25502500.


Problem 2:

Vi teller med både 1*100 og 100*1, 15*23 og 23*15, 99*94 og 94*99 osv.. som er det samme stykket!

Siden vi får dobbelt så mye av alt så fikser vi dette ved å dele (25502500 - 338350) på to!

(25502500 - 338350)* 1/2 = 12582075

Jeg håper det skal være rett denne gangen. Bare spør!

[Fibonacci92]

Jaja Nebbis.... Vi får iallefall samme svar:D
Utledet du den selv?:)

[seigemannen]

[tex]\frac{(k-1) k (k+1) (3 k+2)}{24}[/tex]

Denne skal stemme når [tex]n \geq 2[/tex]

Følte meg veldig stolt når jeg klarte å finne det ut.

haha det er det værste jeg har sett
nå føler jeg meg som en barnehageelev

kan du forklare meg denne ekstreme formelen din?

[seigemannen]

Beklager. Det er jeg som roter dette til. Var for kjapp til å svare uten egentlig å ha løst oppgaven.

Du har lyst å finne summen av å gange to og to tall fra 1 til 100 med hverandre.

Jeg skal bruke to formler for å finne svaret:

Nummer 1:

1 + 2 + 3 + ..... + n = n(n+1)* 1/2

Nummer 2:

1^2 + 2^2 + 3^2 + .......... + n^2 = 1/6* n(n+1)(2n+1)


Hvis du vil ha bevis for disse formlene skal jeg vise deg etterpå.


Se på dette regnestykket:

(1 + 2 + 3 ..... + 99 + 100)*(1 + 2 + 3 ..... + 99 + 100)

Hvis du begynner å gange ut ledd for ledd oppdager du at du får:
1*1 + 1*2 + 1*3 +........ + 1*100
2*1 + 2*2 + 2*3 + ........ + 2*100
..
..
100*1 + 100*2 + 100*3 + ......... + 100*100

Ved å bruke formel 1 får vi at 1 + 2 + .... + 100 = 1/2*100*(100+1) = 5050

og dermed at
(1+ 2 + .... + 100 )*(1+2+ .... + 100) = 5050^2 = 25502500

Dette er nesten det du vil finne summen av! Det er to problem:

Problem 1:

Vi ser at vi får ved å gange sammen parantesene så teller vi også med leddene 1*1 ,2*2, 3*3 ..... og 100*100, som vi ikke vil ha med i summen vår, fordi tallene vi ganger sammen skal være forskjellige!

Dette fikser vi ved å trekke fra disse tallene.

Ved å bruke formel 2 får vi at

1^2 + 2^2 + .... + 100^2 = 1/6* 100(100+1)(2*100+1) = 338350

Og dette skal vi altså trekke fra 25502500.


Problem 2:

Vi teller med både 1*100 og 100*1, 15*23 og 23*15, 99*94 og 94*99 osv.. som er det samme stykket!

Siden vi får dobbelt så mye av alt så fikser vi dette ved å dele (25502500 - 338350) på to!

(25502500 - 338350)* 1/2 = 12582075

Jeg håper det skal være rett denne gangen. Bare spør!

hva er n? hvorfor skal tallene fra 1 til 100 summeres?

[Nebuchadnezzar]

Seff gjorde jeg det, var bare litt miksing og triksing med enkle formler.
Begynner med å skrive opp de første tallene for å se et mønster

1 = 0
2 = 1*2
3 = 1*2 + 1*3 + 2*3
4 = 1*2 + 1*3 + 2*3 + 1*4 + 2*4 + 3*4
5 = 1*2 + 1*3 + 2*3 + 1*4 + 2*4 + 3*4 + 1*5 + 2*5 + 3*5 + 4*5

Her kan vi lett se et mønster. Det virker som vi tar summen av forrige ledd, og legger til summen av gangetabellen...

for eksempel når vi er på tall 5 så er det bare tall som inneholder 5 som er nytt. Eneste formelen vi trenger å bruke er at summen av de n første naturlige tallene er

[tex]1 \, + \, 2 \, + \, 3 \, + \, ... + n = \frac{n(n+1)}{2}[/tex]

Denne formelen kan vi fint utlede om vi ser på summen av de 5 første naturlige tallene.

Vi skriver de slik, også legger vi de sammen nedover.
1 + 2 + 3 + 4 + 5
5 + 4 + 3 + 2 + 1
6 + 6 + 6 + 6 + 6

Her ser vi raskt at det blir 6 * 5 men vi må dele på to siden vi teller dem 2 ganger.

Men hva er summen av 5 gangen?
Jo om vi er litt lur kan vi skrive den om slik

[tex]5\cdot1+5\cdot2+5\cdot3+...+5n=5(1+2+3+...+n)=5\cdot{\frac{n(n+1)}{2}}[/tex]

Summen av n gangen blir jo
[tex]n\cdot{\frac{n(n+1)}{2}}[/tex]

Dermed blir summen

[tex]S(n)\,=\,\sum_{k=0}^n \, n\cdot{\frac{n(n-1)}{2}} \, = \, \frac{(n-1)k(k+1)(3k+2)}{24}[/tex]

Kort og greit, vi legger sammen gangetabellene.

Her tar vi n-1 siden vi ikke har med 5*5 men bare opp til 5*4