Likining med komplekse tall

[Marteens]

Hvordan løser jeg likningen

[tex]iz^2+(1-i)z+1=0[/tex]

[Vektormannen]

Dette er en andregradsligning, og du kan fortsatt bruke andregradsformelen ("abc"-formelen) selv om det er komplekse koeffisienter. Se hvor langt du kommer med den.

[Marteens]

Jeg kommer nærme, men får ikke helt det samme svaret som fasiten. Men jeg er usikker på om jeg gjør den siste delen av oppgaven riktig.

Jeg kommer til

[tex]z=\frac{(-1+i)\pm\sqrt{-6i}}{2i}[/tex]

men derfra er jeg ikke helt sikker på hvordan jeg kan løse det.

Jeg prøvde å skrive -6i i eksponentsialform type

[tex]-6i=6e^{i((\frac{-\pi}{2})+2\pi k)}[/tex] Hvor k=0,1 (fordi det er kvadratrot)

Og dermed

[tex]z=\frac{(-1+i)\pm\sqrt{6e^{i((\frac{-\pi}{2})+2\pi k)}}}{2i}[/tex]

[tex]z=\frac{(-1+i)\pm\sqrt{3}\sqrt{2}e^{i((\frac{-\pi}{4})+\pi k)}}{2i}[/tex]

[tex]z=\frac{{\sqrt{2}e^{i((\frac{3\pi}{4}+\pi k)}}\pm\sqrt{3}\sqrt{2}e^{i((\frac{-\pi}{4})+\pi k)}}{2i}[/tex]


[tex]z=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2i} {\sqrt{2}e^{i((\frac{3\pi}{4}+\pi k)}}[/tex]

Derfra til fasiten er det ikke mye, men jeg klarer ikke den siste biten. Fasiten er som følger:

[tex]z=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2} {(1+i)}[/tex]

Har jeg gjort noe feil? Jeg klarer ikke den siste delen.

[Vektormannen]

Du har ikke gjort noe feil. Du er nesten i mål nå! Ved å velge to forskjellige k-verdier kan du finne de to verdiene for [tex]\pm \sqrt{-6i}[/tex]. Da vil du se at du kan stryke bort faktorer slik at du står igjen med fasitsvaret.