Determinant

[thorvahm]

Jeg har ett lite problem med en oppgave i UIO heftet Flervariabe analyse og lineær algebra..

a,b og c er vektorer i rommet.

Vis at dersom a, b og c er ortogonale, så er det(a, b, c) = |a| |b| |c|

Jeg tenkte at jeg kunne bruke at cos([symbol:pi]/2) = 0 og sin([symbol:pi]/2) = 1
men når jeg har det på polar form så får jeg problemer med dimensjonene på matrisa.

Jeg klarer ikke å vise hvordan det ser ut med latex og jeg finner heller ikke nok tegn, så bruker tekst for alpha, beta og tetta, så dere får bruke litt fantasi...

Matrisen har følgende komponenter:
a1=|a|cos(alpha), a2=|a|sin(alpha)
b1=|b|cos(beta), b2=|b|sin(beta)
c1=|c|cos(tetta), c2=|c|sin(tetta)

Og det er vel ikke mulig å finne determinanten til en 2x3 matrise?

-Thorvald

[claudius]

Jeg har problemer med å forså notasjonen din, men jeg antar at du skal bevise at det trippelproduktet: [tex] (\vec a \times \vec b) \cdot \vec c [/tex] er lik produkdet av lengdene til a, b og c, dersom disse vektorene er innbyrdes ortogonale. Siden trippelproduktet tilsvarer volumet til paralellepipedet som a, b og c definerer er dette ikke en overraskende påstand.

Siden vektorene er tredimensjonale, må alle nødvendigvis ha tre komponenter slik at du får en 3x3 matrise.

[thorvahm]

Jeg tror du har rett. Jeg fant ett eksempel som viste sammenhengen mellom 3x3 matriser og trippelprodukt.

det(a,b,c) = a1(b2c3-b3c2)-a2(b1c3-b3c1)+a3(b1c2-b2c1) = a*(bxc)

Notasjonen min skal det egentlig ikke være noe galt med, men mine manglende latex-kunnskaper gjør det kanskje litt vanskelig å forstå.

-Thorvald

[thorvahm]

Oppgaven kan finnes her: http://folk.uio.no/lindstro/Flervar.pdf i kapittel 1.8, oppgave 12.

Jeg ser foresten at jeg har skrevet litt feil. Det står ikke at det er vektorer i rommet, så jeg går ut i fra at det kan være n dimmensjoner..

-Thorvald

[claudius]

Skal determinanten eksistere, må dimensjonen tilsvare antall vektorer. Vektorene her er nok tredimensjonale.

Den enkleste måten å vise sammenhengen, er sannsynligvis via trippelproduktet.

Det er forøvrig nyttig å huske at vektorproduktet kun er definert for tredimensjonale vektorer.