To funksjoner og areal

[Nebuchadnezzar]

Vi har en to funksjoner gitt ved

[tex]I \qquad \; x^2 - 2x - 2y = a[/tex]

[tex]II \qquad 2x + 3=y[/tex]

Vi kaller skjæringspunktet mellom y-aksen og [tex]I[/tex] for [tex]P[/tex], og skjæringspunktene mellom [tex]I[/tex] og [tex]II[/tex] for [tex]O[/tex] og [tex]Q[/tex]

a) For hvilke verdi av [tex]a[/tex] har [tex]P[/tex] og et av skjæringspunktene mellom I og II samme y-verdi?

b) Vi har en trekant der hjørnene er [tex]P,O,Q[/tex] for hvilken [tex]a[/tex] verdi har trekanten arealet [tex]4[/tex] og [tex]0[/tex]?

c) Er trekanten noensinne rettvinklet? Finn i så tilfelle [tex]a[/tex] verdien og arealet.

d) For hvilke verdier av [tex]a[/tex] er arealet av [tex]POQ[/tex] et heltall?

----------------------------------------------------------

Har tenkt litt men vet ikke helt hvor jeg skal begynne, all hjelp mottas med takk.

[Vektormannen]

Hmm, endret du på oppgaveteksten i a)?

Uansett,

a) Jeg regner med det er null problem å finne skjæringspunktet mellom I og y-aksen? For å finne skjæringspunktene mellom I og II kan du jo skrive I på formen [tex]y = \frac{1}{2}x^2 - x - \frac{1}{2}a[/tex]. Da bør det vel gå greit å finne et uttrykk for skjæringspunktene uttrykt ved a. Ser du hva du kan gjøre videre?

Kanskje du får til de andre når du har gjort denne?

[Nebuchadnezzar]

Ikke noe problem å finne skjæringspunktet mellom y-aksen og [tex]a[/tex] for likning [tex]I[/tex]. Ei heller noe problem med å finne skjæringspunktene mellom [tex]I[/tex] og [tex]II[/tex].

Problemet oppstår når jeg skal velge [tex]a[/tex] verdier slik at [tex]P[/tex] og enten [tex]O[/tex] eller [tex]Q[/tex] er parallelle med x-aksen. Altså at de har samme y-verdi.

EDIT

WOOH der gikk a) opp. Noen tips til de andre?

[Vektormannen]

Ja. Etter litt tenking, kommer jeg på noe slikt, men det kan godt være en dårlig måte!

V.h.a. trigonometri kan du finne høyden fra P og ned på OQ i trekanten ved å bruke den kjente lengden fra P til skjæringspunktet mellom den rette linja og y-aksen. Da gjenstår det å finne det som da blir grunnlinja i trekanten, OQ, som bør gå greit etter litt regning.

Si fra om du kommer på en bedre måte.

[Nebuchadnezzar]

Tenkte først herons formel, også rotet jeg meg vekk når jeg skulle finne sidene. så tenkte jeg arealsetningen [tex]A=\frac{1}{2}ab\sin(C)[/tex]
Men kommer ikke på noen bedre metode.

Uansett fikk løst den, og kom frem til at arealet av trekanten ble

[tex]A(a)=\frac{1}{10}\cdot\sqrt{5(75+5a)}\cdot(a+6)[/tex]

Som gjorde det veldig lett å løse for 0 og 4.

Da mangler jeg bare b og c, har du kanskje noen tips der og ? ^^

[Vektormannen]

Ja, da kom vi hvertfall frem til det samme.

Men ang. c) så kan du vel bruke flere metoder. Du kan f.eks. sette opp vektorene OQ og OP (dersom O er punktet nærmest P) og så sette opp at skalarproduktet skal være 0. Eventuelt bruke at trekanten er rettvinkla hvis [tex]SP \cos \theta = OP[/tex], der S er skjæringspunktet mellom II og y-aksen og [tex]\theta[/tex] er vinkelen mellom II og positiv x-akse. Du kan finne et eksakt uttrykk for cosinusverdien, for du har jo tangensverdien (2).

på d) så er det vel bare å se hva som må til for å få et heltall. I uttrykket ditt kan du trekke ut 25 fra rota og få [tex]\frac{1}{2}\sqrt{15+a}(6+a)[/tex] som sikkert er litt lettere å vurdere.