Algebra vs topologi

[krje1980]

Nå til jul vil jeg ha fullført Kalkulus 1-3, lineær algebra og grunnkurs i statistikk. Til våren skal jeg ta diff.ligninger 1 og abstrakt algebra.

Det er mulig at jeg på sikt vil fortsette med mer fordypning i matematikk for å oppnå en master. Her ved UiB, hvor jeg studerer, kan man fordype seg enten i algebra, analyse eller topologi.

Pr dags dato vipper jeg mellom algebra og topologi. Synes begge feltene virker spennende, men vil gjerne høre fra noen her som har fordypning i dette hva de synes om fagområdene. Er det store likheter/forskjeller mellom de to, (Jeg vet det finnes fag som f.eks. algebraisk topologi, som nok er en bladning av de to), hvilket anses for å være vanskeligst, hva er hovedteoriene som legges vekt på, hvor står forskningen i dag, hva er meste spennende, etc.

Dersom noen kan gi meg litt informasjon om disse fordypningsområdene ville jeg satt stor pris på det

[FredrikM]

Jeg er ikke helt "der" ennå, men kan fortelle litt om forskjellen på de tre forskjellige.

Algebra:
Dette er en svært bred term. Jeg ser på sidene til UiB at de mener "algebra/algebraisk geometri". I algebraisk geometri ser man på polynomer og løsningsmengdene til disse. ("f.eks er løsningsmengden til [tex]x^3+y^3-z^3=0[/tex] triviell, dvs. (0,0,0) er eneste løsning). Man studerer singulariteter, dvs. steder hvor funksjonen "knekker". Dette gjør man vha algebra - man ser på idealer i polynomringer, analyserer dimensjon, osv. Se f.eks her http://www.math.purdue.edu/~dvb/graph/algcurve.html
Gruppeteori, kroppsutvidelser, topologi, kommutativ algebra står sentralt.

Analyse:
Elsk eller hat Jeg avskydde det første analysekurset på UiO. Riemann-summer, Lebesque-integral, Cauchy-følger, vektorrom, metrikker, Hilbert-rom, og hele røkla der. Inkluderer vel også kompleks analyse, som faktisk er kjempemorsomt. Funsksjonalanalyse.

Topologi/algebraisk topologi:
En kaffekopp er bare en forvrengt smultring. Man studerer topologiske egenskaper - dvs. egenskaper som ikke forandrer seg under kontinuerlige avbildninger. Det kreves rimelig mye forarbeid for å bevise at sfæren ikke kan omformes til smultringen. Eller at en lukket kurve deler planet i to.

Forøvrig var informasjonen rimelig god her http://www.uib.no/math/utdanning/vi-und ... matematikk

Men når det er sagt, er det ikke så viktig å vite hva du vil fordype deg i allerede nå. Selv nå, mens jeg tar masterfag, er jeg selv ennå ikke helt sikker på hva jeg ønsker å fordype meg i - mye fordi en overfladisk beskrivelse ikke sier så mye.

[krje1980]

Tusen takk for svar! Ja, det er godt at jeg ikke trenger å bestemme meg helt med en gang hva jeg ønsker å ta videre. Nå skal jeg som sagt ta abstrakt algebra til våren, så det vil vel gi en liten forsmak på hva en eventuell fordypning i algebra vil by på.

Personlig synes jeg dog topologi virker veldig spennende også, men har hørt mange si at det er et veldig vanskelig og krevende. Selv en av professorene ved UiB skriver på sin nettside at topologi er krevende og krever lang og hard jobbing for å forstå.

Jeg får se litt etter hvert hva jeg velger! Men takk igjen for innspillet!

[FredrikM]

Nesten uansett hva du velger å fordype deg i, vil det nok kreve mye hardt arbeid og mange demotiverte øyeblikk.

Husk også at det ikke er spesielt skarpe skiller mellom de forskjellige retningene. Man bruker begreper fra algebra (nesten?) overalt - og topologi brukes mye i algebraisk geometri, analyse, osv. Ting henger veldig mye sammen, så de fagene man tar de tre-fire-fem første årene av utdannelsen er mer en "grunnmur" enn noe annet.