Si om de følgene delmengdene til romvektorene R³, U1 og U2, også er underrom.
U1 ={(x,y,z) € R³| 2x-y+z=0=3x+4z}
U2 ={(x,y,z) € R³| x+3y-8z=1}
Jeg sliter. Dette skal være grunnleggende, men jeg merker at jeg trenger noen tips for jeg vet virkelig ikke hvordan jeg skal gå frem her. (Vet ikke hvordan jeg lager tegnet for "inngår i", så jeg brukte et liknene tegn; €).
Romvektorer
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Du må bruke definisjonen av et lineært underrom: altså en delmengde av vektorrommet som er lukket under skalarmultiplikasjon og addisjon, og som inneholder 0-vektoren. Mer konkret betyr dette at dersom vektorene x og y er med i underrommet, og k er en skalar i R, er også kx og x+y med i underrommet. I 3-dimensjonalt Euclidsk rom er underrommene linjer og plan gjennom origo. (i tillegg til det trivielle underrommet bestående av kun origo)
Løsninger av ligninger på formen ax+by+cz=d er plan i R^3. Dersom d=0 går planet gjennom origo. Skjæringen mellom to plan er en linje. Dersom begge planene går gjennom origo, vil skjæringen mellom dem være en linje som går gjennom origo.
Løsninger av ligninger på formen ax+by+cz=d er plan i R^3. Dersom d=0 går planet gjennom origo. Skjæringen mellom to plan er en linje. Dersom begge planene går gjennom origo, vil skjæringen mellom dem være en linje som går gjennom origo.
Altså, siden U1 er et plan gjennom origo, så er det et underrom av [tex]R^3[/tex]?
Mens U2 er et plan som ikke går gjennom origo, og dermed mangler 0-vektoren, og er altså ikke et underrom av [tex]R^3[/tex]?
Stemmer det på den måten?
Og for å ha det helt klart. når jeg skriver
U1 ={(x,y,z) € R³| 2x-y+z=0=3x+4z}
hva representerer x,y og z? Betyr det at x,y og z er tre vektorer i U1? I så fall, er de de eneste? Er jeg på bærtur?
Mens U2 er et plan som ikke går gjennom origo, og dermed mangler 0-vektoren, og er altså ikke et underrom av [tex]R^3[/tex]?
Stemmer det på den måten?
Og for å ha det helt klart. når jeg skriver
U1 ={(x,y,z) € R³| 2x-y+z=0=3x+4z}
hva representerer x,y og z? Betyr det at x,y og z er tre vektorer i U1? I så fall, er de de eneste? Er jeg på bærtur?
x,y,z er ikke vektorer, men hhv. x,y og z-koordinatene til en vektor [tex]\vec{x}=(x,y,z)[/tex]
2x-y+z=0=3x+4z er det samme som at
2x-y+z=0 og 3x+4z=0. Hver av disse ligningene representerer plan gjennom origo. Dersom begge ligningene skal være oppfylt må (x,y,z) være i skjæringen mellom de to planene, og denne skjæringen er en linje gjennom origo, altså er U1 et underrom.
Det er riktig at U2 ikke er et underrom siden origo=(0,0,0) ikke tilfredsstiller betingelsen.
2x-y+z=0=3x+4z er det samme som at
2x-y+z=0 og 3x+4z=0. Hver av disse ligningene representerer plan gjennom origo. Dersom begge ligningene skal være oppfylt må (x,y,z) være i skjæringen mellom de to planene, og denne skjæringen er en linje gjennom origo, altså er U1 et underrom.
Det er riktig at U2 ikke er et underrom siden origo=(0,0,0) ikke tilfredsstiller betingelsen.
Takk for oppklaring, det begynner å bli noe klarere. Likevel er det noe som skurrer for meg; en vektor trenger vel også en lengde? Er ikke en vektor en linje fra to punkter med bestemt reting? Koordinatene (x,y,z) beskriver bare et punkt i et tredimensjonalt koordinatsystem, gjør det ikke? Regner man altså en vektor fra origon til punktet (x,y,z)?
Vi dette i så fall si at alle vektorene i et vektorrom starter i origon?
Vi dette i så fall si at alle vektorene i et vektorrom starter i origon?
Jeg har ikke problemer med å forstå noe avtankegangen din. Et "rom" i matematisk forstand, er et vidt begrep som nærmest kan sammenlignes med en "punktmengde". Vektorer er elementer i vektorrom og der er "punktene" vektorer.
I et tredimensjonalt vektorrom med "euklidsk" struktur representerer et talltrippel (a,b,c) en vektor med norm (lengde) [symbol:rot] (a[sup]2[/sup] +b[sup]2[/sup] +c[sup]2[/sup]).
Origo tilsvarer nullvektoren.
Et euklidsk rom som er det rommet som tilsvarer en normal "romfølelse" er i utgangspunktet et metrisk rom. Der er elementene punkter med en veldefinert avstand. Når vi innfører vektorstruktur i et euklidsk rom kommer vi over i en tredje type rom som kalles et affine rom. Det er et et metrisk rom der talltripler representerer punkter, mens differansen mellom pnkter altså (a1-a2,b1-b2,c1-c2) for punktene (a1,b1,c1) og (a2,b2,c2), oppfattes som vektorer. Det er på tilsvarende måte mulig å addere en vektor og et punkt for å definere et nytt punkt. På denne måten får vi på sett og vis et vektorrom med et "fleksibelt" nullpunkt.
Jeg håper dette kan være til litt hjelp selv om stoffet ikke er av det letteste.
Til sist noen linker: (Etter min mening med noe varierende kvalitet.)
http://no.wikipedia.org/wiki/Euklidsk_rom
http://en.wikipedia.org/wiki/Affine_space
http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Affiner_Raum.html
http://no.wikipedia.org/wiki/Vektorrom
Vektoren (x,y,z) må oppfattes som differansen mellom punktet (x,y,z) og origo.
I et tredimensjonalt vektorrom med "euklidsk" struktur representerer et talltrippel (a,b,c) en vektor med norm (lengde) [symbol:rot] (a[sup]2[/sup] +b[sup]2[/sup] +c[sup]2[/sup]).
Origo tilsvarer nullvektoren.
Et euklidsk rom som er det rommet som tilsvarer en normal "romfølelse" er i utgangspunktet et metrisk rom. Der er elementene punkter med en veldefinert avstand. Når vi innfører vektorstruktur i et euklidsk rom kommer vi over i en tredje type rom som kalles et affine rom. Det er et et metrisk rom der talltripler representerer punkter, mens differansen mellom pnkter altså (a1-a2,b1-b2,c1-c2) for punktene (a1,b1,c1) og (a2,b2,c2), oppfattes som vektorer. Det er på tilsvarende måte mulig å addere en vektor og et punkt for å definere et nytt punkt. På denne måten får vi på sett og vis et vektorrom med et "fleksibelt" nullpunkt.
Jeg håper dette kan være til litt hjelp selv om stoffet ikke er av det letteste.
Til sist noen linker: (Etter min mening med noe varierende kvalitet.)
http://no.wikipedia.org/wiki/Euklidsk_rom
http://en.wikipedia.org/wiki/Affine_space
http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Affiner_Raum.html
http://no.wikipedia.org/wiki/Vektorrom
Vektoren (x,y,z) må oppfattes som differansen mellom punktet (x,y,z) og origo.