skrå asymptotet

[kjell123]

Hei!
Hvorledes finner jeg b i den skrå asymptote,y=k*x+b, for følgende funksjoner:

1. f(x)=x*ln(e+1/x) Her er k=1

2. f(x(=x^3+y^3-6*x^2=0 Her er k=-1

Takk for svar

Kjell

[FredrikM]

Du har funnet k sier du?

Husk at en asymptote er en lineær funksjon som "etterligner" den originale funksjonen "i det uendelige".

Derfor ønsker du å finne [tex]b[/tex] slik at
[tex]\lim_{x \to \infty} f(x)-(kx+b)=0[/tex]

Hvor [tex]f(x)[/tex] er funksjonen du leker med.

[kjell123]

Det er lim funksjonen for b jeg har problemer med å løse

Kjell

[FredrikM]

Det er fint å fortelle at du har kommet så langt, da ;)

Kan vise deg for den første funksjonen.

Altså, du vil finne b slik at
[tex]\lim_{x \to \infty} f(x)-(x+b)=0[/tex]
hvor [tex]f(x)=x \ln(e+\frac{1}{x})[/tex]. Da er

[tex]\lim_{x \to \infty} x(\ln(e+\frac{1}{x})-b)=\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(e+\frac{1}{x})-b}{\frac{1}{x}}[/tex]

For at dette uttrykket skal ha en grense, må teller [tex]\to 0[/tex]. Dermed ønsker vi å finne [tex]\lim_{x \to \infty} \ln(e+\frac{1}{x})[/tex]. Men dette er selvsagt [tex]\ln(e)=1[/tex]. Så [tex]b=1[/tex].

(du bør se at dette stemmer om du tegner grafen til f)

[kjell123]

Hei.

y=kx+b

lim k gir som sagt k=1
derav
lim b=x*ln(e+1/x)+x
x- [symbol:uendelig]
Min omskrivning til brøk gir bare et nytt ubestemt uttrykk

Grafisk løsning gir y=x+1/e

Kjell

[FredrikM]

Jeg har gjort en liten feil i faktoriseringen av uttrykket.

Selvsagt blir
[tex]f(x)-(x+b)=x\ln(e+\frac{1}{x})-(x+b)=x(\ln(e+\frac{1}{x})-1)-b[/tex]

s.a.

[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(e+\frac{1}{x})-1}{\frac 1x}=b[/tex]

L'Hôpital:
[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e+\frac{1}{x}} \frac{-1}{x^2}}{-\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{e}[/tex]

Så [tex]b=\frac{1}{e}[/tex] akkurat som din grafiske løsning sa.

[kjell123]

Hei!

Har løst begge problemene nå.

1. y=x+1/e

2. y=-x+2

Takk for hjelpen!

Kjell