Rekursiv og eksplisitt formel

[Bentebent]

Hei, jeg har en oppgave der jeg skal skrive om uttrykket til en rekursiv og en eksplisitt formel, men problemet er at jeg ikke har gjort det før, så da blir det litt vanskelig..

Hvordan finner jeg en rekursiv og eksplisitt formel for eiffeltallene?

Det vil si..

E1 = 2
E2 = 5
E3 = 9
E4 = 14
E5 = 20
E6 = 27
E7 = 35
E8 = 44
..osv.

Dvs. at neste ledd øker med 1+ differansen mellom de to foregående leddene hele tiden, men hvordan skriver jeg dette om til de to typene formler jeg er bedt om? :/

[Vektormannen]

Hei. Forstår du forskjellen på en rekursiv og en eksplisitt formel?

En rekursiv formel gjør det mulig å regne ut et ledd i en følge når du vet hva det forgående leddet var. Du har selv beskrevet med ord den rekursjonsrelasjonen som gjelder mellom leddene her. Differansen øker med 1 hele tiden og er 3 mellom de to første leddene. Nøkkelen i slike oppgaver er å se etter mønstre. Begynn med å skrive ned hvordan de første leddene henger sammen med hverandre:

Vi har altså [tex]E_1 = 2[/tex], [tex]E_2 = E_1 + 3[/tex], [tex]E_3 = E_2 + 4[/tex], [tex]E_4 = E_3 + 5[/tex] osv. Ser du at differansen mellom to etterfølgende ledd alltid er én større enn leddnummeret til det siste? F.eks. har vi at [tex]E_4 = E_3 + 4 + 1[/tex].

Når du ser på det mønsteret som er her -- kan du da komme opp med en generell uttrykk for [tex]E_n[/tex] der det forgående leddet [tex]E_{n-1}[/tex] inngår?

Ang. eksplisitt formel er det best å konsentrere seg om det etterpå.

[Bentebent]

Jeg tror jeg får

En = E (n-1) + (n+1)

Hmm.. Den ser ut til å stemme ganske bra

E8 = E7 + (8+1) = 35 + 9 = 44
slik jeg skrev opp leddene i sta så stemmer jo dette, gjør det ikke?

Er det forresten alltid slik at i en rekursiv formel må E(n-1) være med? Det er vel kanskje nettopp det det betyr (når E(n-1) er med i uttrykket er formelen rekursiv?))

[Vektormannen]

Alt du sier er helt riktig!

En rekursiv formel er en formel der det forgående leddet inngår. For å finne ledd nummer n må du altså finne ledd nummer n - 1 og så videre. Dette er i motsetning til en eksplisitt formel, der kun leddets nummer inngår. Du skal altså kunne sette inn et tall for n i den eksplisitte formelen, og få direkte ut leddets verdi.

Når du skal finne en ekplisitt formel her, hjelper det veldig om du er kjent med hva summen av etterfølgende heltall blir, altså 1 + 2 + ... + n. Har du hatt om denne summen?

[Bentebent]

Oi hehe!

Jeg skjønner!

Jeg tror du tenker på summen av en aritmetisk/geometrisk følge? Det er det eneste jeg har lært om. Jeg har ikke lært om summen til en rekursiv/eksplisitt formel, hvis det i det hele tatt finnes noe som heter det. Så svaret er nok nei, er jeg redd

[Vektormannen]

Joda, jeg mente summen av en aritmetisk rekke (merk deg forskjellen på en rekke og en følge -- en rekke er en sum, en følge er en liste med tall. Man kan tenke på en rekke som summen av en leddene i en følge.)

Du får bruk for det for å finne den eksplisitte formelen, var det jeg mente. Ser du et mønster som kan hjelpe deg til å finne denne? Se på de første leddene igjen:

[tex]E_1 = 2[/tex], [tex]E_2 = E_1 + 3 = 2 + 3[/tex], [tex]E_3 = E_2 + 4 = 2+3+4[/tex] osv. Ser du et mønster?

[Bentebent]

Ops. Det er sant, er så lett å blande. Må bare tenke litt før jeg skriver, haha.

Det var vrient, men mulig jeg fikk det til? Skrev opp to ledd for å se det enklere.

E4 = 2+3+4+5
E5 = 2+3+4+5+6

En = S(n-1) + (n+1) ? :O

Dette ble vanskelig!

[Vektormannen]

Vet ikke om jeg er helt med på notasjonen din, men det ser hvertfall ut som du er innpå riktig tanke.

Det du har observert er altså at hvert ledd er summen av tallene fra 2 og opp til leddnummeret + 1. Er du med på at denne summen er lik summen fra 1 og opp til leddnummret + 1 minus 1?

[Bentebent]

Hmm, den kan jeg være med på, hvis jeg forstå det rett.

Det virka mer logisk når jeg tenkte på det enn når jeg skrev det. Kan du skriver hvordan det blir?
Jeg tenkte at det ble slik utifra hvordan du sa det:

2 + 3 + ...+ n = S(n+1) - 1

[Vektormannen]

Ja, det blir som du skriver (regner med du glemte n+1 til vesntre der?) summen S(n+1) - 1, hvis du mener S(n+1) som summen fra 1 opp til n+1. Kan du da finne en eksplisitt formel for ledd nummer n? Altså en formel som kun involverer leddnummret og ikke f.eks. en sum?

[Bentebent]

Jeg forstår ikke hvordan jeg skal kunne klare å skrive det på en annen måte enn å bruke summen. Jeg tenker at jeg må bruke det første leddet, men jeg kommer virkelig ikke lengre.

En = E1 + (n-1)*n var det nærmeste jeg kom . Hjelp, dette er vanskelig, eller så er jeg bare veldig dum...

[Vektormannen]

Du har helt rett i at [tex]E_n = S(n+1) - 1[/tex], hvis du da mener at S(n+1) er summen av tallene fra 1 opp til n. Siste steg er bare å bytte ut S(n+1) med det eksplisitte uttrykket for denne summen. Man har jo at [tex]S(n+1) = \sum_{i=1}^{n+1} i = \frac{(n+1)(n+2)}{2}[/tex], som du bør ha lært hvis du har hatt om aritmetiske rekker?

[Bentebent]

Den siste der har jeg faktisk ikke hørt om.. MEN hvis jeg forstod den riktig, så fikk jeg formelen

En = n(n+3) / 2

[Vektormannen]

Det stemmer det! Ved å sette inn ønsket leddnummer n får du ut riktig verdi.

Den formelen kommer fra den generelle sumformelen for en aritmetisk rekke. 1+2+3+... + n er jo en aritmetisk rekke med differans 1.

[Bentebent]

Aha!

Hvorfor er det forresten sånn at man deler på 2 i den formelen du skrev
( S(n+1) = "sigma-greiene som jeg ikke får skrevet inn fordi jeg ikke kan latex" ) ?