Jeg har litt vansker med å forstå den deriverte til komplekse funksjoner rent intuitivt. Jeg klarer fint å løse oppgavene, og kan anvende Cauchy-Riemann osv uten problemer, men jeg sliter med å se for meg hvordan den deriverte til en kompleks funksjon kan "visualiseres". Når man har en reell funksjon er det jo veldig enkelt å se at den deriverte viser endring i vekst/fall til en graf. Men jeg ser ikke helt hvordan dette fungerer med komplekse funksjoner. Jeg hadde derfor satt veldig stor pris på om noen kort kunne forklarte dette for meg!
Ta f.eks. funksjonen w = f(z) = z^2
Her får vi for f(z) at:
u = (x^2) - (y^2)
v = 2xyi
La oss så f.eks. si at vi tar utgangspunkt i z = 2 + i
Da vil jo
w = 3 + 4i
Punktene for z og w kan vi så tegne i to forskjellige Argand-diagrammer (et for z og et for w).
Den deriverte til z^2 er jo videre 2z. Vil dette da si at ved punktet 3 + 4i vil vi så, uansett i hvilken retning vi beveger oss vekk fra 2 + i i z-diagrammet, da få at endringen til f(z) i w-diagrammet blir:
2(2 + i) = 4 + 2i ?
Jeg har som sagt litt vansker med å se for meg hva denne endringen på 4 + 2i representerer rent "visuelt". Vil det si at vi i w-diagrammet beveger oss i vektorretningen gitt ved 4 + 2i?
Jeg ville satt utrolig stor pris på om noen kort kunne forklart dette for meg! Jeg er ikke lenger tilfreds med bare å kunne håndtverket - jeg vil også forstå hva som ligger bakom håndtverket
.