Ulikhet

[Gustav]

For [tex]n\geq 2[/tex], la [tex]x_1,...,x_n[/tex] være positive reelle tall slik at

[tex]\sum_{i=1}^n x_i=\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}[/tex].

Vis at

[tex]\sum_{i=1}^n \frac{1}{n-1+x_i}\leq 1[/tex]

Hint: Anta det motsatte og finn en motsigelse

[Integralen]

Vi antar at det er større en 1:
Setter:
[tex]x_i=1[/tex]
[tex]n=6[/tex]

Da er:
[tex]\frac{1}{6-1+x_i}=\frac {1}{4}[/tex]

Dermed fant man en motsigelse og dette betyr at det er mindre eller lik 1.

[Gustav]

Vi antar at det er større en 1:
Setter:
[tex]x_i=1[/tex]
[tex]n=6[/tex]

Da er:
[tex]\frac{1}{6-1+x_i}=\frac {1}{4}[/tex]

Dermed fant man en motsigelse og dette betyr at det er mindre eller lik 1.

Du har dessverre bare vist ulikheten for et bestemt sett av x_i-er. Du må vise ulikheten for alle x_i som oppfyller likheten.

[Integralen]

La oss anta at likheten ikke gjelder for n og dermed heller ikke n+1.

Der n er større eller lik 2.Og:
[tex]x_1,.....x_n[/tex]
er en rekke av reele positive tall.

Og la [tex]\: x_i=1,2,3....x_i \:[/tex] være i mengden R.

Ifølge kompletthetsprinsippet har da enhver øvre skranke av x_i en mindre skranke og motsatt og dermed vil
[tex]\frac {1}{n+x_i}[/tex]

alltid være mindre enn 1 eller lik 1.Dette gjelder også for n+1 ved induksjon.Men vår antagelse fører altså til en motsigelse.Og dermed er beviset fullført.