Bevis - kompleks sekvens

[krje1980]

Hei. Denne oppgaven har ikke fasit, men jeg tror jeg har forstått det meste. Den lyder:

Let a sequence [tex]z_n (n=1,2,...)[/tex] converge to a number [tex]z[/tex]. Show that there exists a positive number [tex]M[/tex] such that the inequality [tex]|z_n| \leq M[/tex] holds for all [tex]n[/tex]. Do this in each of the following ways.

a) Note that there is a positive integer [tex]n_0[/tex] such that:

[tex]|z_n|=|z+(z_n -z)|<|z|+1[/tex] whenever [tex]n>n_0[/tex].

b) Write [tex]z_n=x_n +iy_n[/tex] and recall from the theory of sequences of real numbers that the convergence of [tex]x_n[/tex] and [tex]y_n (n=1,2,...)[/tex] implies that [tex]|x_n| \leq M_1[/tex] and [tex]|y_n| \leq M_2 (n=1,2,...)[/tex] for some positive numbers [tex]M_1[/tex] and [tex]M_2[/tex]

OK. Mitt løsningsforslag:

a) Dersom en sekvens konvergerer har vi at det, for hvert positive tall [tex]\epsilon[/tex] eksisterer et positivt tall [tex]n_0[/tex] slik at:

[tex]|z_n - z|<\epsilon[/tex] når [tex]n>n_0[/tex]

Vi setter så [tex]\epsilon<1[/tex]. Vi får da at:

[tex]|z_n|=|z+(z_n -z)| \leq |z|+|z_n -z|<|z|+\epsilon=|z|+1[/tex] såfremt [tex]n>n_0[/tex].

Dermed har vi bevist a).

Går så videre på b):

Vi har at [tex]z_n =x_n +iy_n[/tex]. Dette gir:

[tex]|z_n|=|x_n +iy_n| \leq |x_n|+|y_n| \leq M_1+M_2[/tex]

Med dette har bevist at [tex]|z_n| \leq M[/tex] hvor [tex]M=M_1 +M_2[/tex]

Setter veldig stor pris på om noen kan bekrefte/avkrefte om min fremgangsmåte her er korrekt!

[Charlatan]

Dette ser helt riktig ut! Bare en liten skrivefeil, du mener vel "vi setter så [tex]\epsilon = 1[/tex]".

[krje1980]

Ja, mente selvsagt at epsilon = 1 .

Flott å høre at jeg har forstått dette! Blir litt stolt av at jeg begynner å få kontroll på bevisføring .

[Charlatan]

Jeg legger merke til nå at du har glemt en liten ting. Du viser at |z_n|<M når n > n_0. Men oppgaven var å vise at det gjelder for alle n. Kan du finne en konstant som tar hensyn til dette også?

[krje1980]

Jeg legger merke til nå at du har glemt en liten ting. Du viser at |z_n|<M når n > n_0. Men oppgaven var å vise at det gjelder for alle n. Kan du finne en konstant som tar hensyn til dette også?

Hm, nå ble jeg litt usikker. Det er jo gitt i a) at n > n[sub]0[/sub]. Så er ikke helt sikker på hvordan jeg skal ta hensyn til alle n. Setter pris på litt hjelp

[FredrikM]

Hint: Det er bare endelig mange elementer i følgen med [tex]n < n_0[/tex].

[Charlatan]

Jeg legger merke til nå at du har glemt en liten ting. Du viser at |z_n|<M når n > n_0. Men oppgaven var å vise at det gjelder for alle n. Kan du finne en konstant som tar hensyn til dette også?

Hm, nå ble jeg litt usikker. Det er jo gitt i a) at n > n[sub]0[/sub]. Så er ikke helt sikker på hvordan jeg skal ta hensyn til alle n. Setter pris på litt hjelp

Slik jeg ser det ber oppgaven deg bruke det man viser i a) og b) henholdsvis til å bevise påstanden. Man skal altså finne en konstant M' som er slik at |z_n| <= M' for alle n når man vet fra a) at det finnes en n_0 slik at |z_n|<=M når n>n_0. Som Fredrik nevner kan det være lurt å merke seg at M' kun trenger å ta hensyn til et endelig antall ledd i følgen, så du skjønner kanskje med litt ettertanke hvordan det er lurt å definere M'.

Merk også at a) og b) gir forskjellige måter å bevise påstanden på.

[krje1980]

Hm.

Er det mulig at jeg kan f.eks. si at [tex]|x_0| \leq M_0[/tex] og [tex]|y_0| \leq N_0[/tex]?

Da har vi en konstant som begrenser [tex]n[/tex] dersom [tex]n \leq n_0[/tex]

Eller er jeg på villspor nå?

[krje1980]

Så har jeg tenkt rett?

[FredrikM]

Forstod ikke helt den forrige posten din.

Meningen er å finne en konstant som fungerer for alle n. Du har allerede funnet en konstant som fungerer for alle [tex]n \geq n_0[/tex]. Men det kan hende en av [tex]z_i[/tex] for [tex]i < n_0[/tex] var større enn alle de andre.

[krje1980]

Vel, da må jeg innrømme at jeg ikke helt ser hvordan jeg skal sette dette opp. Setter veldig stor pris på om noen viser det

[FredrikM]

Okei. Du har vist at det finnes en [tex]M[/tex] slik at [tex]|z_n| \leq M[/tex] for alle [tex]n > n_0[/tex]. "Problemet" er at det kan være at f.eks [tex]z_1[/tex] er kjempestor - mye større enn M.

Men siden vi bare har [tex]n_0[/tex] potensielle skurker, har disse en største skurk blant seg. Da kan vi velge [tex]M^\prime=\max\{z_0,z_1,\ldots,z_{n_0},M\}[/tex]. Vår nye [tex]M^\prime[/tex] er da større enn *alle* verdier i følgen.

[krje1980]

Å ja!! Det var faktisk i disse banene jeg tenkte i mitt forrige innlegg (finne en makskonstant for alle n < n[sub]0[/sub]), men jeg formulerte det litt klønete. Nå når jeg ser beviset ditt husker jeg det imidlertid igjen fra da jeg hadde sekvesner i kalkulus for 1 år siden. Tusen takk skal du ha .