uniform kontinuitet

[Tarzan]

Hvordan ser man rent intuitivt at funksjonen f(x)=sin(1/x) IKKE er uniformt kontinuerlig?

[diracfan1]

Det som slår meg ved første øyekast er 1/x. Hva skjer når x går mot null?

[Tarzan]

Når x->0 vil f(x) = 1/x gå mot uendelig. Vil tro at dette medfører at 1/x ikke er uniformt kontinuerlig, siden vi da må velge en mindre og mindre delta for å få l f(x)-f(y) l < epsilon. Dvs. at delta er avhening av både epsilon og x.

Men ser fortsatt ikke hvorfor sin (1/x) ikke er uniformt kontinuerlig. Denne vil jo svinge mellom -1 og 1 og ikke gå mot uendelig...

[diracfan1]

Den er begrenset, ja, men den har ingen endelig verdi i x=0 så derfor er den ikke uniformt kontinuerlig.

[FredrikM]

Når du skal finne ut om en funksjon er uniformt kontinuerlig, må du også spesifisere definisjonsområdet til funksjonen. Funksjonen [tex]x^2:\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/tex] er ikke uniformt kontinuerlig, men funksjonen [tex]x^2:(0,1) \to \mathbb{R}[/tex] er uniformt kontinuerlig.

[quote=diracfan1]Den er begrenset, ja, men den har ingen endelig verdi i x=0 så derfor er den ikke uniformt kontinuerlig.[/quote]
Dette argumentet funker bare for [tex]1/x[/tex]. Komposisjonen av to ikke uniformt kontinuerlige funksjoner kan selv være uniformt kontinuerlig. Bare la [tex]f(x)=\frac{1}{x}[/tex]. Da er [tex]f \circ f(x)=x[/tex] som er uniformt kontinuerlig.

Til oppgaven:
Intuitivt ser vi at når [tex]x \to 0[/tex], vil [tex]\sin(\frac{1}{x})[/tex] oscillere raskere og raskere. Så om vi har lyst til at funksjonsverdien bare skal endre seg litt, må vi jo nærmere vi kommer [tex]0[/tex] velge en mindre og mindre [tex]\delta[/tex].

Formelt: For å se at [tex]\sin(1/x)[/tex] ikke er uniformt kontinuerlig: Vi må vise at det finnes en [tex]\epsilon[/tex] slik at [tex]|f(x)-f(y)| \geq \epsilon[/tex] uansett hvor mye [tex]\delta > 0 [/tex] begrenser [tex]|x-y| < \delta[/tex]. Vi påstår at [tex]\epsilon=2[/tex] funker.

For gitt [tex]\delta > 0[/tex], velg [tex]n[/tex] så stor at [tex]\frac{1}{\pi/2+2\pi n} < \delta[/tex]. Sett så [tex]x_1=\frac{1}{\pi/2+2\pi n}[/tex] og [tex]y_1=\frac{1}{3\pi/2+2\pi n}[/tex]. Da er [tex]|x_1-y_1| < \delta[/tex] og [tex]|\sin(\frac{1}{x_1})-\sin(\frac{1}{x_2})|=2[/tex].

Dette betyr at uansett hvor liten vi velger [tex]\delta[/tex], så "nært nok 0" kan vi alltid finne [tex]x,y[/tex] veldig nært hverandre slik at [tex]|\sin(\frac{1}{x})-\sin(\frac{1}{y})|=2[/tex].