kontinuitetsproblem

[gogol]

Hei! Er helt ny her. Står litt fast i et par kontinuitetsoppgaver:
Jeg skal vise hvilke punkter funksjonen er diskontinuerlig i;
[tex]f(x)=sqrt(x)[/tex]når[tex] x>0[/tex], og [tex] x+1[/tex] når[tex] x<=0[/tex]
Den er jo åpenbart diskontinuerlig i x=0 når den grenser mot 1 nedenfra, og 0 ovenfra, men jeg har kjørt meg litt fast.

I henhold til definisjonen på kontinuitet, skal [tex]|x|<\delta[/tex] når [tex]|f(x) - 1|<\epsilon[/tex], og jeg burde kunne motvise dette ved å velge en epsilon mindre enn 1. Prøver med [tex]\epsilon=\frac{1}{2}[/tex].

For at dette skal stemme, må [tex]|f(x)-1|<\frac{1}{2}[/tex]. Da må f(x)=(0.5, 1.5). Sagt på en annen måte kan vi velge [tex]\delta[/tex]-verdier mellom 0 og 2.25.

Men selv om jeg velger [tex]\delta[/tex]=0 eller 2.25, får jeg at [tex]|f(x) - 1|<\frac{1}{2}[/tex]

Noen som kan oppklare litt?
Takker for all hjelp

[FredrikM]

En funksjon er kontinuerlig i et punkt [tex]x_0[/tex] hvis og bare [tex]\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)[/tex].

[Karl_Erik]

Det det vil si å være kontinuerlig er at du for enhver epsilon kan finne en positiv delta slik at ulikheten [tex]|f(x)-1|<\epslion[/tex] holder dersom [tex]|x|<\delta[/tex]. Det du må gjøre for å vise at den ikke er kontinuerlig er altså å finne en [tex]\epsilon[/tex] slik at ingen [tex]\delta[/tex] er liten nok. Du har rett i at [tex]\epsilon=\frac 1 2[/tex] holder her. For å vise at den holder må du vise at samme hvor liten delta er (om den er positiv!) finnes det en [tex]x[/tex] slik at [tex]|x|<\delta[/tex], men [tex]|f(x)-1|\geq \frac 1 2[/tex]. For å gjøre dette, legg merke til at samme hvor liten [tex]\delta[/tex] er kan du finne et positivt tall [tex]x[/tex] med [tex]|x|<\delta[/tex]. (Dette er mulig siden delta ikke kan være null.) Sørg så også for at dette tallet er mindre enn [tex]\frac 1 4[/tex]. (Med andre ord velger du [tex]x\in (0, \min \{ \delta, \frac 1 4 \})[/tex]) Hvorfor har vi da at [tex]|f(x)-1|\geq \frac 1 2[/tex]?

[gogol]

Takk for svar til begge to!

Karl Erik:

Med x=min{d, 1/4), kan vi få |f(x)-1| = |-min{d, 1/4) +1 -1|<1/2.
Stygt redd jeg tuller litt her?