R2:Bestemt integral - Vis at ...

[mstud]

Hei!

Trenger noen tips til de siste deloppgavene i en oppgave:

d) Vis at [tex]tan^n x+tan^{n-2} x = tan^{n-2}x \cdot (tan x)\prime[/tex]

e) Bruk dette til å vise at: [tex]\int\limits_{0}^{\frac {\pi}{4}} tan^{10}x\ dx=\frac 19 - \int\limits_{0}^{\frac {\pi}{4}} tan^{8}x\ dx[/tex]
og
[tex]\int\limits_{0}^{\frac {\pi}{4}} tan^{8}x\ dx=\frac 17 - \int\limits_{0}^{\frac {\pi}{4}} tan^{6}x\ dx[/tex]

f) Vis at [tex]\int\limits_{0}^{\frac {\pi}{4}} tan^{10}x\ dx=\frac 19 - \frac 17 +\frac 15- \frac 13 +1 -\frac {\pi}4[/tex]

[Vektormannen]

d) Dette er enklest om du tar utgangspunkt i høyresiden og bytter ut (tan x)' med en av uttrykkene for den.

e) Jeg vet ikke helt hvordan de har tenkt at du skal bruke dette, men du kan f.eks. skrive [tex]\tan^{10}x = \tan^{10}x + \tan^{8}x - \tan^{8}x[/tex]. Da har du i praksis lagt til 0, så det endrer ikke noe på verdien av uttrykket. Da kan du benytte den formelen du har vist i d) på de to første leddene. Når du har gjort det, ser du da hvilken integrasjonsmetode som kan lønne seg?

f) Denne klarer du kanskje å pønske ut når du har gjort d) og e)?

EDIT: Dette kan gjøres på flere måter hvis du syns denne metoden virker noe rar. En annen måte å egentlig gjøre det samme på, men med en noe annerledes tankegang bak, er å tenke på [tex]\tan^{10}x[/tex] som [tex]\tan^8x \cdot \tan^2 x[/tex]. Da gjenkjenner vi at [tex]\tan^2 x[/tex] "nesten" er [tex]\tan^2 x + 1[/tex], som er et uttrykk for [tex](\tan x)^\prime[/tex]. Hva om vi skriver [tex]\tan^2 x + 1[/tex]? Hvordan kan vi kompensere for det? Vi får da: [tex]\tan^8 x (\tan^2 x + 1)[/tex]. Vi ser at dette er det samme som [tex]\tan^8 \cdot \tan^2 x + \tan^8 x[/tex], så om vi trekker fra [tex]\tan^8 x[/tex] så bør uttrykke bli som før. Da får vi altså: [tex]\tan^{10} x = \tan^8 x \cdot (\tan^2 x + 1) - \tan^8 x = \tan^8 x (\tan x)^\prime - \tan^8 x[/tex].

[mstud]

d)

Da var den grei: [tex]tan^{n-2}x \cdot (tan x)^\prime=tan^{n-2} \cdot (1+tan^2 x)=tan^{n-2}x+tan^{n-2+2}x=tan^{n-2}x+tan^{n}x[/tex]

e)

Så langt kom jeg i hvert fall:

[tex]\int\limits_{0}^{\frac {\pi}4} tan^{10} x \ dx=\int\limits_{0}^{\frac {\pi}4} (tan^{10} x+tan^8 x-tan^8 x) \ dx=\int\limits_{0}^{\frac {\pi}4} (tan^8 x \cdot (tanx)^\prime) \ dx - \int\limits_{0}^{\frac {\pi}4} (tan^8 x) \ dx[/tex]

Da kan vel det siste leddet bare stå til slutt i alle ledd (JEG TAR IKKE DET MED HER FOR Å SPARE PLASS, men skal gjøre det i min bok)og jeg må integrere det første slik at:[tex]\int\limits_{0}^{\frac {\pi}4} (tan^8 x \cdot (tanx)^\prime) \ dx =\frac 19[/tex]

Jeg tror det går an å substituere u=tanx og da er du=[tex](tanx)^\prime dx[/tex]. Og så få ut: [tex]\int\limits_{0}^{\frac {\pi}4} (tan^8 x \cdot (tanx)^\prime) \ dx =\int\limits_{0}^{\frac {\pi}4} u^8 \cdot du [/tex], men jeg vet ikke om det er dette som fører fram til svaret....

?

[Vektormannen]

Jo, det er akkurat en slik substitusjon som må til!

Bare husk at du enten må endre grenser nå som du har byttet til u som variabel, ellers må du endre tilbake til tan x etter du har integrert. Men uansett hvordan du gjør det så kan du regne ut en verdi for integralet. [tex]\tan \frac{\pi}{4}[/tex] har jo en kjent verdi.

[mstud]

Det med å bytte grensene kom jeg på før jeg leste svaret ditt . Og jeg fikk rett svar på den, så nå gjenstår det bare å prøve meg på f) ...

Det går vel stort sett ut på å gjenta dette flere ganger dvs. på siste ledd, og så se om jeg får ut rett svar til slutt.

[Vektormannen]

Ja, det er ikke verre enn det, egentlig. (Du kan selvsagt benytte det mønsteret du har funnet til å bare skrive opp de neste brøkene i stedet for å benytte substitusjon og få ut det samme hver gang.)

[mstud]

Da har jeg løst den også riktig, så nå er "vi" ferdig med denne oppgaven.
Takk for all hjelpen!!!!!!!!!!!!