Lengde av graf: Vis at ...

[mstud]

Oppgaven er:

d) [tex]f(x)=\frac 12 (e^x+e^{-x})[/tex]

Vis at [tex]\sqrt{1+(f^\prime(x))^2}=\frac 12(e^x+e^{-x})[/tex]

Jeg fant at f '(x)=[tex]\frac 12(e^x-e^{-x})[/tex].
Så opphøyet jeg den deriverte i ^2, og skal deretter finne kvadratroten av dette, og jeg kan ikke akkurat si at jeg ser hva den blir :

[tex]\sqrt{1+(f^\prime(x))^2}=\sqrt{1+(\frac 12(e^x+e^{-x}))^\prime ^2}=\sqrt{1+(\frac 12(e^x-e^{-x})) ^2}=\sqrt{1+(\frac 14(e^x-e^{-x})-\frac 12)}=\sqrt{\frac 12(\frac 12(e^x-e^{-x})-1) }[/tex]


Har jeg gjort riktig så langt? Hva skal jeg i så fall gjøre videre?

[Vektormannen]

Jeg ser ikke helt hva du har gjort? Hvor kommer -1/2 fra? Husk at [tex](e^x - e^{-x})^2 = (e^x - e^{-x})(e^x-e^{-x})[/tex] (Hint: andre kvadratsetning.)

[mstud]

Jeg vet ikke hvor -(1/2) kom fra, for det leddet skulle egentlig vært -1, fordi[tex]-2*\frac 12(e^{x-x})=-1e^0=-1[/tex]

I tillegg ser jeg jeg glemte å skrive 1+... under rottegnet i siste ledd, men nå får jeg jo også -1, det betyr at jeg nå har som siste ledd:

[tex]\sqrt{\frac 14 *(e^x-e^{-x})}[/tex]

Og det ser kanskje hakket bedre ut enn det forrige uttrykket jeg skulle ta kvadratroten av?

[Vektormannen]

Nei, det stemmer heller ikke. Du gjør et eller annet feil når du opphøyer i andre. Du har at [tex][\frac{1}{2}(e^x - e^{-x})]^2 = \frac{1}{4}(e^x - e^{-x})^2[/tex]. Jeg kan ikke se at du har opphøyd [tex](e^x - e^{-x})[/tex] i andre?

[mstud]

Jeg har visst skrevet noe litt annet her på forumet enn i skriveboken min, beklager så mye...

I skriveboken har jeg:

[tex]\sqrt{1+\frac 1{2^2}(e^{2x}-2*e^{x-x}+e^{-2x})}=\sqrt{1+\frac 14(e^{2x}-2*e^{0}+e^{-2x})}=\sqrt{\frac 14(1+e^{2x}-2+e^{-2x})}=\sqrt{\frac 14(e^{2x}-e^{-2x})-\frac 12}[/tex]

Håper jeg har skrevet det riktig av nå

Nå så i hvert fall jeg hvor jeg hadde -1/2 fra, enten det nå var riktig eller ikke.

Ser du nå hva jeg har gjort?

EDIT: Rettet en liten feil.

[Vektormannen]

Da ser jeg hva du har gjort, og det ser bra ut! (Men jeg tror du har slurvet litt helt til slutt der? Skal være fortegn + på det siste e-leddet.)

Det neste du kan gjøre nå er å trekke sammen og rydde litt opp, så du får [tex]\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}e^{2x} + \frac{1}{4}e^{-2x}[/tex]

Trikset nå blir å faktorisere ut [tex]\frac{1}{4}[/tex]. Hvordan blir uttrykket seende ut da?

[mstud]

Da ser jeg hva du har gjort, og det ser bra ut! (Men jeg tror du har slurvet litt helt til slutt der? Skal være fortegn + på det siste e-leddet.) Ja,det har jeg i boken

Det neste du kan gjøre nå er å trekke sammen og rydde litt opp, så du får [tex]\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}e^{2x} + \frac{1}{4}e^{-2x}[/tex]
Ja,den er grei

Trikset nå blir å faktorisere ut [tex]\frac{1}{4}[/tex]. Hvordan blir uttrykket seende ut da?

Det skal jeg prøve på nå...

Da får jeg:
[tex]\sqrt{\frac12+\frac 14 e^{2x}+\frac 14 e^{-2x}=sqrt{\frac 14 (2+e^{2x}+e^{-2x}}=\frac 12 *sqrt{2+e^{2x}+e^{-2x}} ...[/tex] Kan det være riktig?

[Vektormannen]

Det er helt riktig

Nå må du gjøre det du gjorde i sted baklengs. Se på 2 som [tex]2e^x \cdot e^{-x}[/tex]. Kan du da skrive om det som står under rottegnet?

[mstud]

DA er jeg ferdig med den:

[tex]\frac 12 \sqrt{(e^{2x}+2e^{x-x}+e^{-2x})}=\frac 12 ^sqrt{(e^x+e^{-x})^2}=\frac 12 (e^x+e^{-x})[/tex].


Tusen takk for hjelpen og tiden og tålmodigheten og hva mer det nå kan ha kostet deg... !!!

[Janhaa]

Oppgaven er:
d) [tex]f(x)=\frac 12 (e^x+e^{-x})[/tex]
Vis at [tex]\sqrt{1+(f^\prime(x))^2}=\frac 12(e^x+e^{-x})[/tex]
Har jeg gjort riktig så langt? Hva skal jeg i så fall gjøre videre?

når du lærer hyperbolske funksjoner kan den løses så kjapt:

[tex]f(x)=\frac 12 (e^x+e^{-x})=\cosh(x)[/tex]
der
[tex]\sqrt{1+(f^\prime(x))^2}=\sqrt{1+(\sinh(x))^2}=f(x)=\cosh(x)[/tex]

[mstud]

Stilig!

Men dette er jo ikke pensum i R2, så jeg kommer vel ikke til å lære det før på universitetet ...

Hvis all matten der hadde vært så grei (enklere veier enn i R2), hadde det kanskje vært enda flere som tok den...

(Jeg for min del har i hvert fall planer om å antagelig ta noe av den mer avanserte matematikken, men kanskje i en annen grad enn ren matematikk...)