Bestemt integral - tungvint metode?

[mstud]

Hei!

Jeg skal finne det bestemte integralet:

[tex]\int\limits_{0}^{0,1} \frac 1{1-2x^2} \ dx[/tex]. Tenker da å finne det ubestemte først, men ser ikke helt hvordan jeg lettest kan gjøre det, ser at det er mulig å skrive 1-2x^2 som [tex](x-\frac {\sqrt 2}2 )(x+\frac {\sqrt 2}2 )[/tex], men lurer på om det er en lettere metode enn delbrøkoppspalting som jeg har oversett...

Noen som har et bedre forslag?

[Janhaa]

dette er nok ikke vgs-pensum, men en alternativ løsning;

[tex]I=\int\frac 1{1-x^2} \ dx=\text arctanh(x)+C[/tex].

derfor

[tex]u=\sqrt2 x[/tex]
[tex]du=\sqrt2 dx[/tex]

[tex]I=\int\frac 1{1-2x^2} \ dx={1\over \sqrt2}\int\frac{du}{1-u^2}={1\over \sqrt2}\text arctanh(\sqrt2 x)+C [/tex]

[Razzy]

Noen som har et bedre forslag?

Det finnes jo en regel som sier at:

[tex]$$\int {{1 \over {b - x}}dx = - \ln \left| {x - b} \right|} + C$$[/tex]

Kanskje du kan bruke denne for å finne det ubestemte integralet?

[tex]$$\int {{1 \over {1 - 2{x^2}}}dx} $$[/tex]

Eller fungerer ikke denne regelen her? hehe

[mstud]

Hei!

Det går ikke an å bruke den direkte på uttrykket, siden det står 1-2x^2 under brøkstreken, fordi den gjelder bare for når uttrykket under brøkstreken er lineært dvs. når x ikke er opphøyd i noe, må derfor først dele opp uttrykket vha delbrøkoppspalting og kan så bruke [tex][tex][/tex]\frac 1{x\pm a}=ln|x\pm a|.

Hadde det vært så enkelt, er det en viss liten fare for at jeg hadde sett at jeg kunne det .... ... .....

[Nebuchadnezzar]

Denne delbrøkoppspaltingen er jo rimelig kake da.

Generelt sett kan vi si at [tex]\frac{1}{x^2-a^2}=\frac{1}{2(x-a)}-\frac{1}{2(x+a)}[/tex]

Kan jo være en sjekk ting å bevise denne "formelen" her.

I oppgaven din så er jo[tex] a=sqrt{2}[/tex]

[Razzy]

Wolfram Mathematica gav meg disse svarene her, men kunne ikke regne ut det bestemte integralet. Noe jeg syntes var rart, for det gikk på Casioen. Kanskje det er meg det er noe galt med heller

[tex]\int \frac{1}{1-2x^2} \, dx[/tex]

[tex]\frac{-\text{Log}\left[\sqrt{2}-2 x\right]+\text{Log}\left[\sqrt{2}+2 x\right]}{2 \sqrt{2}}[/tex]

[mstud]

Hei!

Ser at jeg skrev oppgaven litt feil av ...

Det som var målet var å finne en tilnærmingsverdi til [tex]\int\limits_{0}^{0,1} \frac 1{(1+x^2)^2} \ dx[/tex] ved å regne ut integralet [tex][tex][/tex]\int\limits_{0}^{0,1} 1-2x^2 \ dx [tex][tex][/tex] , som jo er en god del enklere....

Dermed har vi i hvert fall fått noe å lure på, om det kanskje lå litt over vårt nivå å løse...

Så vidt jeg kan se, gikk ikke metoden til Nebuchanezzar heller (svaret stemte ikke med det integralet jeg hadde skrevet jeg skulle finne) , men jeg kan jo ha sett feil ...

Ha en fortsatt god kveld

[Razzy]

mstud Sånt skjer, hehe.

Fortsatt god kveld du også!

[Integralen]

Plott det inn i kalkis:
1.Option-> integer
2.Skriv integralet inn etterfulgt av , 0, 0,1.
3.Da får du 0,09966865249...

Eller løs integralet ved substitusjon.

[Nebuchadnezzar]

Sikker på at du har skrevet riktig og ikke at oppgaven din spør deg om

[tex]\int{\frac{1}{(x^2-1)^2}\,dx[/tex]} ?

Og metoden jeg viste fungerer på stykker på formen

[tex]\frac{1}{x^2-a^2}[/tex] ikke [tex]\frac{1}{(x^2+a^2)^2} [/tex]

[Razzy]

Denne delbrøkoppspaltingen er jo rimelig kake da.

Generelt sett kan vi si at [tex]\frac{1}{x^2-a^2}=\frac{1}{2(x-a)}-\frac{1}{2(x+a)}[/tex]

[tex]$${x^2} - {a^2} = (x - a)(x + a)$$[/tex]

Hvor kommer 2 tallet dit fra? (øyet er det første man bli blind på)

[mstud]

Ja, det var akkurat det oppgaven ikke spurte etter, og det var det jeg trodde at uttrykket var på akkurat litt feil form til at det gikk an å bruke metoden din...

Ellers var metoden din litt enklere enn den jeg har brukt til nå, så når uttrykkene er på rett form kan jeg sikkert ha nytte av den