Differensiallikninger

[Razzy]

Problem: Jeg har 2 forskjellige oppgaver nedenfor, de løses på samme måte, men i den ene oppgaven er jeg nødt til å gange med -1 på begge sider av likhetstegnet, for å få riktig svar i forhold til fasit.

Hva gjør jeg feil, og hvordan klarer jeg å skille den ene fra den andre?


Likning nr 1

[tex]$$y\prime + y = 2$$[/tex]

[tex]$$y\prime = 2 - y$$[/tex]

[tex]$$y\prime = 1\left( {2 - y} \right)$$[/tex]

[tex]$$y\prime * {1 \over {\left( {2 - y} \right)}} = 1$$[/tex]

[tex]$${1 \over {\left( {2 - y} \right)}} * {{dy} \over {dx}} * dx = 1dx$$[/tex]

[tex]$$\int {{1 \over {\left( {2 - y} \right)}}dy = \int {1dx} } $$[/tex]

[tex]$$ - \ln \left| {2 - y} \right| = x + C$$[/tex] Kunne jeg ganget med -1 her?

[tex]$${e^{ - \ln \left| {2 - y} \right|}} = {e^{x + C}}$$[/tex]

[tex]$$ - \left| {2 - y} \right| = {e^x} * {e^C}$$[/tex]

[tex]\underline {\underline {y = \pm C{e^x} - 2}[/tex]



Likning nr 2


[tex]$$y\prime + y = 1$$[/tex]

[tex]$$y\prime = 1 - y$$[/tex]

[tex]$$y\prime = 1\left( {1 - y} \right)$$[/tex]

[tex]$$y\prime * {1 \over {\left( {1 - y} \right)}} = 1$$[/tex]

[tex]$${1 \over {\left( {1 - y} \right)}} * {{dy} \over {dx}} * dx = 1dx$$[/tex]

[tex]$$\int {{1 \over {\left( {1 - y} \right)}}dy = \int {1dx} } $$[/tex]

[tex]$$ - \ln \left| {1 - y} \right| = x + C$$[/tex] Her var jeg nødt til å gange med -1

[tex]$$\ln \left| {1 - y} \right| = - x + C$$[/tex]

[tex]$${e^{\ln \left| {1 - y} \right|}} = {e^{ - x + C}}$$[/tex]

[tex]$$\left| {1 - y} \right| = {e^{ - x}} * {e^C}$$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {y = \pm C{e^{ - x}} + 1}} $$[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Det man ofte gjør i slike oppgaver er at man tillegner en konstant både positive og negative verdier

Til dømes så kan for eksempel [tex]D=\pm C[/tex] eller [tex]C=\pm C^,[/tex]

I oppgave 2 ganger du likningen din med -1 (markert i rødt) Men du forandrer ikke tegnet foran C. Dette må du gjøre eller markere at du skifter ut denne konstanten. Som over

Kan gi deg et eksempel på oppgave 1, både med integrerende faktor og å separe differentiallikningen

Integrerende faktor

[tex]y^{\tiny\prime} + y = 2 [/tex]

Tallet foran y' er 1, dermed bruker vi den integrerende faktoren [tex]e^{1\cdot x}[/tex]

[tex] y^{\tiny\prime}{e^x} + y{e^x} = 2{e^x} [/tex]

[tex] \left( {y{e^x}} \right)^{\tiny\prime} = 2{e^x} [/tex]

[tex] y{e^x} = \int {2{e^x}} dx [/tex]

[tex] y{e^x} = 2{e^x} + C [/tex]

[tex] y{e^x} \cdot {e^{ - x}} = 2{e^x}{e^{ - x}} + C{e^{ - x}} [/tex]

[tex] \underline{\underline {y = C{e^{ - x}} + 2}} [/tex]

Seperabel


[tex] y^{\tiny\prime} + y = 2 [/tex]

[tex] y^{\tiny\prime} = 2 - y [/tex]

[tex] \int {\frac{1}{{2 - y}}dy} = \int {1dx} [/tex]

[tex] - \ln \left| {2 - y} \right| = x + {C_2} [/tex]

[tex] \ln \left| {2 - y} \right| = {C_1} - x [/tex]

[tex] 2 - y = {e^{{C_1} - x}} [/tex]

[tex] y = 2 - {e^{{C_1}}}{e^{ - x}} [/tex]

[tex] \underline{\underline {y = 2 + C{e^{ - x}}}} [/tex]

I begge metodene så definerer jeg Konstanten til å være positiv, men egentlig kan den jo både være positiv og negativ. Og det er derfor mange slenger på et plussminus tegn.

Ofte når vi løser slike oppgaver lager vi nye konstanter i øst og vest, ser du mine to i siste utregning?

[Razzy]

Det man ofte gjør i slike oppgaver er at man tillegner en konstant både positive og negative verdier

Til dømes så kan for eksempel [tex]D=\pm C[/tex] eller [tex]C=\pm C^,[/tex]

I oppgave 2 ganger du likningen din med -1 (markert i rødt) Men du forandrer ikke tegnet foran C. Dette må du gjøre eller markere at du skifter ut denne konstanten. Som over

Kan gi deg et eksempel på oppgave 1, både med integrerende faktor og å separe differentiallikningen

Vi har fått beskjed om at metoden "å gange med integrerende faktor" ikke inngår i kursets pensum. Burde jeg trosse dette fordi den kan være enklere å bruke, enn den separable metode?

Seperabel


[tex] y^{\tiny\prime} + y = 2 [/tex]

[tex] y^{\tiny\prime} = 2 - y [/tex]

[tex] \int {\frac{1}{{2 - y}}dy} = \int {1dx} [/tex]

[tex] - \ln \left| {2 - y} \right| = x + {C_2} [/tex]

[tex] \ln \left| {2 - y} \right| = {C_1} - x [/tex]

[tex] 2 - y = {e^{{C_1} - x}} [/tex]

[tex] y = 2 - {e^{{C_1}}}{e^{ - x}} [/tex]

[tex] \underline{\underline {y = 2 + C{e^{ - x}}}} [/tex]

I begge metodene så definerer jeg Konstanten til å være positiv, men egentlig kan den jo både være positiv og negativ. Og det er derfor mange slenger på et plussminus tegn.

Ofte når vi løser slike oppgaver lager vi nye konstanter i øst og vest, ser du mine to i siste utregning?

Alt som handlet om konstanten C, syntes jeg var litt forvirrende, har jo til nå nærmest sett bort ifra denne konstanten...

Fant et eksempel fra boka. Kunne jeg skrevet oppgave 1 på denne måten også? (har jeg skjønt fremgangsmåten)

[tex]$${y^{\tiny\prime} + y = 2$$[/tex]

[tex]$${y^{\tiny\prime} = 2 - y$$[/tex]

[tex]$$\int {{1 \over {2 - y}}dy} = \int {1dx} $$[/tex]

[tex]$$ - \ln \left| {2 - y} \right| + {C_1} = x + {C_2}$$[/tex] (jeg ganget med -1 på hver side, og trekker over)

[tex]$$\ln \left| {2 - y} \right| = {C_1} - {C_2} - x$$[/tex]

[tex]$$\ln \left| {2 - y} \right| = {C^{\tiny\prime} - x$$[/tex] (jeg har satt [tex]$${C^{\tiny\prime} = {C_1} - {C_2}$$[/tex])

[tex]$$2 - y = {e^{{C^{\tiny\prime} - x}}$$[/tex]

[tex]$$ - y = \pm {e^C}^{\tiny\prime}{e^{ - x}} - 2$$[/tex] (ganger med -1, og setter [tex]$$C = \pm {e^{{C^{{\tiny\prime}}}}$$[/tex])

[tex]$$\underline {\underline {y = C{e^{ - x}} + 2} } $$[/tex]

[Janhaa]

Det man ofte gjør i slike oppgaver er at man tillegner en konstant både positive og negative verdier
[tex]$${y^{\tiny\prime} + y = 2$$[/tex]
[tex]$${y^{\tiny\prime} = 2 - y$$[/tex]
[tex]$$\int {{1 \over {2 - y}}dy} = \int {1dx} $$[/tex]
[tex]$$ - \ln \left| {2 - y} \right| + {C_1} = x + {C_2}$$[/tex] (jeg ganget med -1 på hver side, og trekker over)
[tex]$$\ln \left| {2 - y} \right| = {C_1} - {C_2} - x$$[/tex]
[tex]$$\ln \left| {2 - y} \right| = {C^{\tiny\prime} - x$$[/tex] (jeg har satt [tex]$${C^{\tiny\prime} = {C_1} - {C_2}$$[/tex])
[tex]$$2 - y = {e^{{C^{\tiny\prime} - x}}$$[/tex]
[tex]$$ - y = \pm {e^C}^{\tiny\prime}{e^{ - x}} - 2$$[/tex] (ganger med -1, og setter [tex]$$C = \pm {e^{{C^{{\tiny\prime}}}}$$[/tex])
[tex]$$\underline {\underline {y = C{e^{ - x}} + 2} } $$[/tex]

hva med:
[tex]$${y^{\tiny\prime} = 2 - y$$[/tex]

[tex]$$\int {{dy \over {2 - y}} = \int {dx} $$[/tex]

[tex]-\ln|2-y|=-x+C^,[/tex]

[tex]\ln|2-y|=x+C[/tex]

[tex]2-y=D^,e^{-x}[/tex]

[tex]y=2+De^{-x}[/tex]

[mstud]

Vi har fått beskjed om at metoden "å gange med integrerende faktor" ikke inngår i kursets pensum. Burde jeg trosse dette fordi den kan være enklere å bruke, enn den separable metode?

Når metoden ikke inngår i pensum, vil vel det antagelig si at oppgavene du kan få skal være mulig å løse uten å bruke integrerende faktor.

Hvis de allikevel ikke har forbudt dere å bruke den metoden , kan den nok til tider være gunstig, omtrent som det enkelte ganger lønner seg å bruke substitusjon for å gjøre det enklere å løse et integral som hadde vært mer komplisert, men fortsatt fullt mulig å løse vha. andre teknikker.

Det er altså mulig at det ville være en fordel å bruke metoden med å gange med integrerende faktor, selv om det ikke er strengt tatt nødvendig å bruke denne metoden, til tross for at den ikke inngår i pensum....

[Razzy]

Skal gjøre meg litt kjent med metoden, er greit å ha to å velge mellom når man kjører seg ned i sanden på prøven!

Takk