Differensialligning

[mstud]

Hei!

Trenger hjelp med denne oppgaven:

[tex]y^,=\frac{y^2}{x^2}+\frac 14[/tex]

Løs differensialligningen ved å sette y=u*x

Har prøvd, men tror ikke det forsøket er noe særlig verdt...

Noen som kan hjelpe?

[Janhaa]

hei, husk at y=ux
og
[tex]y^,=u^,x+u[/tex]
skriv den som;

[tex]u^,\cdot x+u=u^2+0,25[/tex]

dvs

[tex]\int\frac{du}{u^2-u+0,25}=\int\frac{dx}{x}[/tex]

[mstud]

Hei igjen!

Takk for hjelpen så langt, det jeg hadde glemt var å substituere y' (jeg substituerete bare der det sto y, så nå gikk det mye bedre (nesten helt bra), har fortsatt en liten ting jeg lurer på:

Fasitsvaret er: [tex]y=\frac {1}2 + \frac {1}{C-ln|x|}[/tex]


Men jeg får: [tex]y=\frac {x}2 + \frac {x}{C-ln|x|}[/tex]

Min utregning:
[tex]\int \frac {du}{u^2-u+0,25} = \int \frac {dx}{x} \\ \ \\ \frac 1{\frac 12 -u} = ln|x| + C \\ \ \\ \frac 2{1-2u} = ln |x| + C \\ \ \\ (1-2u)(ln|x|+C)=2 \\ \ \\ 1-2u=\frac 2{ln|x|+C} \\ \ \\ -2u=\frac 2{ln|x|+C}-1 \\ \ \\ -2u=\frac {2-ln|x|+C}{ln|x|+C} \\ \ \\ 2u=\frac {ln|x|+C-2}{ln|x|+C} \\ \ \\ u=\frac {ln|x|+C-2}{2ln|x|+C} \\ \ \\ \frac {y}{x}=\frac {ln|x|+C-2}{2ln|x|+C} \\ \ \\ y=x(\frac {ln|x|+C-2}{2ln|x|+C} ) \\ \ \\ y=\frac {x}2 +\frac {x}{C-ln|x|} [/tex]

Hvilket svar er det som er rett og hva har jeg i så fall gjort feil?

[Janhaa]

Hei igjen!
Hvilket svar er det som er rett og hva har jeg i så fall gjort feil?

[tex] 2u=\frac {\ln|x|+C-2}{\ln|x|+C} \\ \ \\ u=\frac {\ln|x|+C-2}{2\ln|x|+C} \\ \ \\ \frac {y}{x}=\frac {\ln|x|+C-2}{2\ln|x|+C} \\ \ \\ y=x \left(\frac {\ln|x|+C_1-2}{2\ln|x|+C_2}\right)[/tex]

akkurat det siste svaret ditt var jeg ikke helt med på..., men dette fikk jeg...likt ditt helt til nest siste linje. Fasitsvaret forstår jeg ikke helt i farta (mener jeg)...

[mstud]

Kanskje ikke så rart du ikke ser hvordan jeg kom til siste linje, for der var det ganske mange trinn jeg ikke la ut.

Det svaret i nest siste linje skrev jeg som og forkortet for å få noe som lignet på fasitsvaret:

[tex]y=\frac {x(ln|x|+C_1) -2x}{2 ln |x| +C_2 } \\ \ \\ =\frac {x(ln|x|+C_1)}{2 ln |x| +C_2 } -\frac {2x}{2 ln |x| +C_2 } \\ \ \\ = ...[/tex]

[Vektormannen]

Det ser nesten ut som de i fasiten har stoppet når de har funnet et uttrykk for u. Det er jo bare en faktor x som mangler, som er akkurat det som er forskjellen på y og u.

[mstud]

Det ser nesten ut som de i fasiten har stoppet når de har funnet et uttrykk for u. Det er jo bare en faktor x som mangler, som er akkurat det som er forskjellen på y og u.

Det var akkurat det jeg også lurte på om de hadde gjort. Skrevet uttrykket for u som om det var uttrykket for y.

[mstud]

Hvis begge dere to, Janhaa og Vektormannen, tror det fasitsvaret er feil, kan jeg sikkert konkludere med at det må være det

Og da får jeg bare si tusen takk for bekreftelsen