Integral med uendelige grenser

[MatteNoob]

Hei

Har noen spørsmål i forbindelse med notasjon og strategi for å løse integraler som har grenser hvis går mot [symbol:plussminus] [symbol:uendelig]

La meg ta utgangspunkt i følgende integral:

[tex]\int_{-\infty}^{\infty} e^x dx[/tex]

blir det da riktig å gjøre følgende:

[tex]\int_{-\infty}^{\infty} e^x dx = \int_{-\infty}^0 e^x dx + \int_{0}^{\infty} e^x dx[/tex]

så sette

[tex]\int_{-\infty}^{\infty} e^x dx = \lim_{t\to -\infty}\int_{t}^0 e^x dx + \lim_{s\to\infty} \int_{0}^{s} e^x dx[/tex]

Dette gir oss

[tex]\int_{-\infty}^{\infty} e^x dx = \lim_{t\to -\infty} \left(e - e^t\right) + \lim_{s\to\infty} \left(e^s - e\right)[/tex]

1) Her ser vi jo umiddelbart at det andre integralet divergerer. Skal man bare konkludere med dette, og se integralet som løst?

2) Om man deler opp integraler på denne måten, bør man bare se om det ene divergerer og løse det, for så å konkludere?

3) Er notasjonen jeg bruker korrekt?

[Markonan]

Du har løst denne oppgaven riktig, med riktig notasjon, bortsett fra at du skal ha 1 og ikke e på den siste linjen.

Man må være litt forsiktig, fordi når du deler opp integraler kan jo den ene delen divergere mot [symbol:uendelig] og den andre delen mot -[symbol:uendelig]. Det holder ikke alltid å bare se på det ene leddet.

[MatteNoob]

Tusen hjertlig!!

Wooops, det har du selvfølgelig helt rett i :]

Ok, og da kansellerer de selvfølgelig ut hverandre og er 0.

Kan du vise et eksempel på f(t) der:

[tex]\lim_{t\to\infty} f(t) = -\infty[/tex]

[tex]\lim_{t\to -\infty} f(t) = \infty[/tex]

[Markonan]

Fort gjort.

Hva med?
[tex]f(t) = -t[/tex]

[MatteNoob]

Se der, ja. Der har vi et tilfelle. Tusen hjertlig takk igjen.

Da tror jeg at jeg har forstått dette godt nok til å gå videre med det.

[Charlatan]

Du må dele opp for å sjekke konvergens. [tex]\int^{\infty}_{-\infty}f(x) dx[/tex] konvergerer hvis og bare hvis [tex]\int^{\infty}_{0}f(x) dx[/tex] og [tex]\int^{0}_{-\infty}f(x) dx[/tex] konvergerer, og det er helt riktig å bruke forskjellige uavhengige variabler når du evaluerer disse.

Man definerer [tex]\int^{\infty}_{-\infty}f(x) dx = \lim_{a \to -\infty} \lim_{b \to \infty} \int^b_a f(x) dx[/tex]

[tex]\lim_{r \to \infty} \int^r_{-r}f(x) dx[/tex] er noe ganske annet enn [tex]\int^{\infty}_{-\infty}f(x) dx[/tex], men også nyttig i noen sammenhenger. Man kaller dette integralet prinsipialverdien til det uendelige integralet.

Integraler som [tex]\int^{\infty}_{-\infty}x dx , \int^{\infty}_{-\infty}x^3 dx[/tex] og [tex]\int^{\infty}_{-\infty}\cos(x) dx[/tex] vil alle divergere selv om funksjonene "kansellerer" når man beregner prinsipialverdier til integralene.

[Nebuchadnezzar]

Er ikke noe av grunnen til at vi må ofte dele opp funksjoner på formen

[tex]\int_{-r}^{r}f(x) dx[/tex]

Fordi at [tex]f(x)[/tex] er en odde funksjon om origo ( slik som [tex]x^3 [/tex]) eller generelt sagt at[tex] g(x) [/tex]er en odde funksjon rundt (b-a)/2 ?

der

[tex]\int_{a}^{b} g(x)dx[/tex]

[Charlatan]

Integranden trenger ikke å være odde for at prinsipialverdien skal eksistere mens det uendelige integralet ikke eksisterer, hvis det var det du mente.

[Karl_Erik]

Hvis det du tenker på er situasjoner der du vil finne arealet som avgrenses av funksjoner og x-aksen er det litt det, ja. Om du forestiller deg funksjonen f(x)=x^3 på intervallet [-1,1] ville det opplagte integralet blitt null, men integralet er jo positivt. Så vil du finne arealet må du dele opp integralet og regne ut absoluttverdier og sånt, ja.

Uten at jeg er helt sikker tror jeg denne definisjonen er gjort litt av samme grunner - integraler som 'konvergerer ved å divergere like mye i begge retninger' oppfører seg ikke så bra som integraler som konvergerer i begge retninger hver for seg, så det er mer hensiktsmessig å si at uendelige integraler konvergerer hvis de konvergerer i begge retninger separat.

[Charlatan]

Poenget med at vi krever at integralet konvergerer i begge retninger er for å opprettholde reglene for integralet som vi pleier å bruke. F.eks har vi at

[tex]\int^b_c f(x) dx+\int^c_a f(x)dx = \int^b_d f(x) dx+\int^d_a f(x)dx[/tex]. Det har altså ikke noe å si hvor vi begynner å "måle" fra. Begge gir integralet [tex]\int^b_a f(x) dx[/tex].

Men hvis vi prøver å bruke denne regelen på prinsipialverdien til integralet [tex]I= \int^{\infty}_{-\infty} x dx[/tex] får vi problemer.
F.eks hvis vi tar utgangspunkt i 0, er

[tex]I = \lim_{r \to \infty} \int^{r}_{0} x dx + \int^{0}_{-r} x dx= 0[/tex], men hvis vi starter i 1, får vi derimot

[tex]I = \lim_{r \to \infty} \int^{r+1}_{1} x dx+ \int^{1}_{-r+1} x dx = \lim_{r \to \infty} r = \infty[/tex].

Prinsipialverdien er altså en funksjon av hvor vi begynner å måle fra, så det ligner ikke på de vanlige integralene våre.

[FredrikM]

Du må dele opp for å sjekke konvergens. [tex]\int^{\infty}_{-\infty}f(x) dx[/tex] konvergerer hvis og bare hvis [tex]\int^{\infty}_{0}f(x) dx[/tex] og [tex]\int^{0}_{-\infty}f(x) dx[/tex] konvergerer, [...]

Moteksempel:
[tex]\int_{-\infty}^\infty x dx[/tex]

(du skriver "hvis og bare hvis" (altså [tex]\Leftrightarrow[/tex]). Holder med "hvis")

[Vektormannen]

Hvordan er det et moteksempel?

[Charlatan]

Du må dele opp for å sjekke konvergens. [tex]\int^{\infty}_{-\infty}f(x) dx[/tex] konvergerer hvis og bare hvis [tex]\int^{\infty}_{0}f(x) dx[/tex] og [tex]\int^{0}_{-\infty}f(x) dx[/tex] konvergerer, [...]

Moteksempel:
[tex]\int_{-\infty}^\infty x dx[/tex]

(du skriver "hvis og bare hvis" (altså [tex]\Leftrightarrow[/tex]). Holder med "hvis")

Altså, dette er et eksempel jeg selv har gitt som et integral hvor prinsipialverdien konvergerer men ikke integralet. Som sagt er [tex]\int^{\infty}_{-\infty}f(x) dx[/tex] definert som [tex]\lim_{a \to -\infty}\lim_{b \to \infty}\int^{b}_{a}f(x) dx[/tex], noe som forutsetter at begge grensene eksisterer. For f(x) = x vil ikke engang [tex]\lim_{b \to \infty}\int^{b}_{a}f(x) dx[/tex] eksistere for noen a, og integralet konvergerer altså ikke.

Det er hvis og bare hvis dersom det er tilstrekkelig og nødvendig, og det er det i dette tilfellet. Det er også noe som er greit å ha i bakhodet, og jeg prøvde å gjøre et poeng ut av å presisere det.

[Gustav]

Moralen her er vel at integralet [tex]\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx[/tex] er definert ved at man tar de "uavhengige" grensene [tex]\lim_{a\to -\infty} \lim_{b\to \infty} \int_a^b f(x)\,dx [/tex] i motsetning til når man beregner prinsipalverdien [tex]\lim_{a\to \infty} \int_{-a}^a f(x)\,dx[/tex]

Det er et godt poeng å understreke, ofte en kilde til forvirring at folk tror at prinsipalverdien er den vanlige definisjonen av slike integraler.

[FredrikM]

Moralen her er vel at integralet [tex]\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx[/tex] er definert ved at man tar de "uavhengige" grensene [tex]\lim_{a\to -\infty} \lim_{b\to \infty} \int_a^b f(x)\,dx [/tex] i motsetning til når man beregner prinsipalverdien [tex]\lim_{a\to \infty} \int_{-a}^a f(x)\,dx[/tex]

Det er et godt poeng å understreke, ofte en kilde til forvirring at folk tror at prinsipalverdien er den vanlige definisjonen av slike integraler.

Ok, så vi opererte med forskjellige definisjoner av konvergens. Jeg tenkte på sistnevnte definisjon som definisjonen.

Er det noen fordeler å definere konvergens med "uavhengige" grenser framfor som prinsipalverdi?