taylor polynomials

[gill]

dette er beviset for taylor polynomials:

http://bildr.no/view/848373

del 2:
http://bildr.no/view/848374

del 3:

http://bildr.no/view/848375

I begynnelsen av del 2 tenker jeg meg at de finner to punkter hvor f(a)=f(b)=0 og fra Rolle's theorem har vi at da finnes det et stigningstall imellom a og b som er [tex]f*(c_1)=0[/tex]

* betyr derivert her siden tex ikke skriver '

Jeg kan skjønne at de antar to sånne punkter tenker jeg. Men så sier de at

[tex]f*(a)=f*(c_1)=0[/tex]

hvorfor antar de at stigningstallet i a er 0. Jeg skjønner ikke hvorfor de kan det?

Beviset er egentlig bare litt over en side var bare litt knotete og få lastet det opp.

[Gustav]

Se på definisjonen av F(x) og beregn den deriverte i punktene x=a og x=c_1. Det er rett frem derivasjon å vise at den deriverte er 0 i disse punktene.

[gill]

Vi har

[tex]P_n(x)=f(a)+f*(a)(x-a)+\frac{f**(a)}{2!}(x-a)^2+...+\frac{f^(n)(a)}{n!}(x-a)^2[/tex] (1)

og at


[tex]\phi_n(x)=P_n(x)+K(x-a)^{n+1}[/tex] (2)

y=f(x)

og

[tex]F(x)=f(x)-\phi_n(x)[/tex] (3)

Sånn som jeg har forstått det velger de seg to punkter slik at:

F(a)=F(b)=0

alle ledd som har (x-a) blir 0 automatisk.

Jeg har prøvd å derivere F(x). Det jeg sitter igjen med er f*(x) siden når jeg setter inn for a i (3) er det bare ledd etter f(x) som inneholder (x-a) som blir 0 når x=a. Men jeg ser ikke hvorfor f*(a) blir 0. Og hvorfor F(b) blir 0 ser jeg heller ikke p.g.a. (b-a) ikke blir 0.

[Gustav]

Fra dine definisjoner er for n>0:

[tex]P_n^,(a)=f^,(a)[/tex] og

[tex]\phi_n^,(a)=f^,(a)[/tex]

Ergo blir [tex]F^,(a)=f^,(a)-f^,(a)=0[/tex]

At [tex]F^,(c_1)=0[/tex] kommer av Rolles theorem.