Jeg har at
[tex]D_n = \frac1\pi \int_0^\pi \sin{(t)}\cdot e^{-i2nt}dt=\frac{2}{\pi(1-4n^2)}[/tex]
Jeg skjønner ikke hva som skjer fra den ene siden av likhetstegene til det andre, noen som kan gi meg noen tips?
Fourier rekke
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
For mange typer integraler finnes det formler. Nummer 2 på listen:
http://en.wikipedia.org/wiki/Lists_of_i ... erivatives
[tex]\int sin(at)\cdot e^{bt}dt = \frac{e^{bt}}{a^2 + b^2}\Big(b\sin(at) - a\cos(at)\Big) + C[/tex]
Med denne formelen er det rimelig enkelt. Tar hele utregningen jeg.
For deg er a=1 og b = -2in.
[tex]\int sin(t)\cdot e^{-2int}dt = \frac{e^{-2int}}{1^2 + (-2in)^2}\Big((-2int)\sin(t) - \cos(t)\Big) + C[/tex]
Litt mellomregning:
(-2int)[sup]2[/sup] = (-2)[sup]2[/sup](i)[sup]2[/sup]n[sup]2[/sup] = 4(-1)n[sup]2[/sup] = -4n[sup]2[/sup]
[tex]=\;\; \frac{e^{-2int}}{1 - 4n^2}\Big((-2int)\sin(t) - \cos(t)\Big) + C[/tex]
Når du har det ubestemte integralet, er det bare å sette inn verdiene fra det bestemte integralet og kaste C ut av vinduet.
[tex]\int_0^\pi\sin(t)e^{-2int}dt =[/tex]
[tex]\frac{e^{-2in\pi}}{1 - 4n^2}\Big(\underbrace{(-2in\pi)\sin(\pi)}_{=0} - \underbrace{\cos(\pi)}_{=-1}\Big) \;-\; \frac{e^{-2in\cdot0}}{1 - 4n^2}\Big(\underbrace{(-2in 0)\sin(0)}_{=0} - \underbrace{\cos(0)}_{=1}\Big)[/tex]
[tex]=\;\; \frac{e^{-2in\pi}}{1 - 4n^2}(1) - \frac{e^{-2in\cdot 0}}{1-4n^2}(-1)[/tex]
[tex]=\;\; \frac{e^{-2in\pi}}{1 - 4n^2} + \frac{e^{-2in\cdot 0}}{1-4n^2}[/tex]
Så til slutt ser vi på eksponentialfunksjonene.
[tex]e^{-2in\cdot 0} = e^{0} = 1[/tex]
Fra du lærte om komplekse tall så husker du kanskje at 2*pi er en full omdreining, og når du ganger det med n så "spinner" du rundt n ganger men ender opp på 1.
[tex]e^{-2i\pi\cdot n} = e^{-2i\pi} = 1[/tex].
Helt til slutt har vi da:
[tex]=\;\; \frac{1}{1 - 4n^2} + \frac{1}{1-4n^2} \;=\; \frac{2}{1-4n^2}[/tex]
I uttrykket du har for D[sub]n[/sub] ganger du integralet med 1/pi, og da får du identiteten din.
http://en.wikipedia.org/wiki/Lists_of_i ... erivatives
[tex]\int sin(at)\cdot e^{bt}dt = \frac{e^{bt}}{a^2 + b^2}\Big(b\sin(at) - a\cos(at)\Big) + C[/tex]
Med denne formelen er det rimelig enkelt. Tar hele utregningen jeg.
For deg er a=1 og b = -2in.
[tex]\int sin(t)\cdot e^{-2int}dt = \frac{e^{-2int}}{1^2 + (-2in)^2}\Big((-2int)\sin(t) - \cos(t)\Big) + C[/tex]
Litt mellomregning:
(-2int)[sup]2[/sup] = (-2)[sup]2[/sup](i)[sup]2[/sup]n[sup]2[/sup] = 4(-1)n[sup]2[/sup] = -4n[sup]2[/sup]
[tex]=\;\; \frac{e^{-2int}}{1 - 4n^2}\Big((-2int)\sin(t) - \cos(t)\Big) + C[/tex]
Når du har det ubestemte integralet, er det bare å sette inn verdiene fra det bestemte integralet og kaste C ut av vinduet.
[tex]\int_0^\pi\sin(t)e^{-2int}dt =[/tex]
[tex]\frac{e^{-2in\pi}}{1 - 4n^2}\Big(\underbrace{(-2in\pi)\sin(\pi)}_{=0} - \underbrace{\cos(\pi)}_{=-1}\Big) \;-\; \frac{e^{-2in\cdot0}}{1 - 4n^2}\Big(\underbrace{(-2in 0)\sin(0)}_{=0} - \underbrace{\cos(0)}_{=1}\Big)[/tex]
[tex]=\;\; \frac{e^{-2in\pi}}{1 - 4n^2}(1) - \frac{e^{-2in\cdot 0}}{1-4n^2}(-1)[/tex]
[tex]=\;\; \frac{e^{-2in\pi}}{1 - 4n^2} + \frac{e^{-2in\cdot 0}}{1-4n^2}[/tex]
Så til slutt ser vi på eksponentialfunksjonene.
[tex]e^{-2in\cdot 0} = e^{0} = 1[/tex]
Fra du lærte om komplekse tall så husker du kanskje at 2*pi er en full omdreining, og når du ganger det med n så "spinner" du rundt n ganger men ender opp på 1.
[tex]e^{-2i\pi\cdot n} = e^{-2i\pi} = 1[/tex].
Helt til slutt har vi da:
[tex]=\;\; \frac{1}{1 - 4n^2} + \frac{1}{1-4n^2} \;=\; \frac{2}{1-4n^2}[/tex]
I uttrykket du har for D[sub]n[/sub] ganger du integralet med 1/pi, og da får du identiteten din.
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu
Hvis man skal regne fra scratch er vel det enkleste å bruke
[tex]\sin(t) = \frac{1}{2i}\left(e^{it}-e^{-it}\right)[/tex]
Trekk ut konstanter og gang sammen leddene, som gir:
[tex]\frac{1}{2\pi i}\int_0^{\pi}\left(e^{i(1-2n)t}-e^{-i(1+2n)t}\right)\,\mathrm{d}t[/tex]
Herfra er det bare å integrere mht [tex]t[/tex] og benytte identitetene Markonan har nevnt når man setter inn for grensene.
[tex]\sin(t) = \frac{1}{2i}\left(e^{it}-e^{-it}\right)[/tex]
Trekk ut konstanter og gang sammen leddene, som gir:
[tex]\frac{1}{2\pi i}\int_0^{\pi}\left(e^{i(1-2n)t}-e^{-i(1+2n)t}\right)\,\mathrm{d}t[/tex]
Herfra er det bare å integrere mht [tex]t[/tex] og benytte identitetene Markonan har nevnt når man setter inn for grensene.