vanskelig integral

[Nebuchadnezzar]

Jeg skulle finne integralet av

[tex]\int_0^{\infty}\frac{sin(x)}{x}dx[/tex]

Først så viste jeg at integralet konvergerte også tenkte jeg at jeg kunne bruke taylorrekka for sin(x) og integrere ledd for ledd. Dette gav meg

[tex]x - \frac{x}{3!3} + \frac{x}{5!5} - \frac{x}{7!7} ...[/tex]

Er dette riktig vei å gå for å finne summen av rekka?

Er litt clueless angående dette integralet..

[Janhaa]

Jeg skulle finne integralet av
[tex]\int_0^{\infty}\frac{sin(x)}{x}dx[/tex]
Først så viste jeg at integralet konvergerte også tenkte jeg at jeg kunne bruke taylorrekka for sin(x) og integrere ledd for ledd. Dette gav meg
[tex]x - \frac{x}{3!3} + \frac{x}{5!5} - \frac{x}{7!7} ...[/tex]
Er dette riktig vei å gå for å finne summen av rekka?
Er litt clueless angående dette integralet..

er ganske sikker på at dette er veien å gå. men husk at:

[tex]x - \frac{x^3}{3!3} + \frac{x^5}{5!5} - \frac{x^7}{7!7} ...[/tex]

og dette er jo en uendelig sum som, iflg vår venn Wolfram, skal bli [symbol:pi]/2
=============
dette integralet kalles visst;

[tex]Si(x)[/tex]

[Gustav]

Integralet er altså
[tex]\lim_{c\to \infty} \int_0^c \frac{\sin(x)}{x}\,dx[/tex].

Ser nærmere på [tex]\int_0^c \frac{\sin(x)}{x}\,dx[/tex]. La Taylorutviklingen til [tex]\sin(x)[/tex] være gitt ved [tex]\sum_{i=0}^\infty f_i[/tex] og n-te partialsum [tex]g_n=\sum_{i=0}^n f_i[/tex]. Da blir

[tex]\int_0^c \frac{\sin(x)}{x}\,dx=\int_0^c \lim_{n\to\infty} \frac{g_n}{x}\,dx[/tex]

Weierstrass M-test gir at [tex]g_n[/tex] konvergerer uniformt på den kompakte mengden [0,c], så vi kan bytte om rekkefølgen på integralet og grensen: (uniform konvergens av taylorrekka på intervallet vi integrerer over er tilstrekkelig for å kunne bytte rekkefølgen på integrasjon og grensen av partialsummene)

[tex]\int_0^c \lim_{n\to\infty} \frac{g_n}{x}\,dx= \lim_{n\to\infty}\int_0^c \frac{g_n}{x}\,dx[/tex]. Siden [tex]g_n[/tex] er en endelig sum kan vi integrere ledd for ledd. Til slutt tar vi grensen

[tex]\lim_{c\to\infty}\lim_{n\to\infty}\int_0^c \frac{g_n}{x}\,dx[/tex].

Vi kan nå sette [tex]g_n=\sum_{i=0}^n f_i[/tex] og får at

[tex]\lim_{c\to\infty}\lim_{n\to\infty}\int_0^c \frac{g_n}{x}\,dx=\lim_{c\to\infty}\lim_{n\to\infty}\int_0^c \frac{\sum_{i=0}^n f_i}{x}\,dx=\lim_{c\to\infty}\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\int_0^c \frac{f_i}{x}\,dx=\\ \lim_{c\to\infty}\sum_{i=0}^\infty\int_0^c \frac{f_i}{x}\,dx[/tex]

Dette integralet er det lett å beregne, og vi får en potensrekke i c. Dersom vi kan identifisere denne som en kjent rekke, kan det bli enklere å evaluere den siste grensen..

[FredrikM]

Jeg prøvde å løse dette i gårkveld med kompleks analyse.

Integranden har en havbar singularitet i [tex]0[/tex], så vi kan integrere over en stor halvsirkel med sentrum i orgio. Dette vil gi oss et integral lik null, men vi vet at integralet langs buen er lik det negative av integralet langs x-aksen (som er det vi er interessert i). Klarer vi å regne ut integralet langs buen og vise at det er lik [tex]-\pi[/tex], så er vi ferdige.