Konvergens - geometriske rekker

[mstud]

Hei!

Har et par oppgaver bl.a. om konvergensområdet for geometriske rekker som jeg trenger litt hjelp til:

6.65 b)
Uendelig geometrisk rekke , [tex] a_1=x-1 , \ a_2=x , \ k=\frac {a_2}{a_1} =\frac {x}{x-1}[/tex]. Bestem konvergensområdet.

Setter opp ulikheten [tex]-1<\frac {x}{x-1}<1[/tex]. Hvordan kan man løse denne algebraisk? (dvs. uten fortegnslinje, selvfølgelig kunne jeg sette x=1/2 og finne fortegn før og etter, men jeg ville gjerne sett den algebraiske løsningen korrekt)

Jeg har prøvd mange forskjellige metoder som burde gitt rett svar, men jeg får [tex]x>\frac 12[/tex] men fasiten har [tex]x<\frac 12[/tex].


6.68 a) Geometrisk rekke [tex]a_1=sin x , \ k=1-cosx, \ x\in [0,2\pi)[/tex]Finn konvergensområdet G for denne rekken.
Det blir å løse ulikheten -1<1-cosx<1 når x er mellom 0 og 2pi, svaret skal bli [tex]G\in \left[ 0,\frac {\pi}2 \right) \cup \left{ \pi \right} \cup \left( \frac {3\pi}2 , 2\pi \right) [/tex]

6.79 En tallrekke starter slik:[tex]\frac 12 + \frac 16 + \frac 1{12} + \frac 1{20}...[/tex] a) Finn et uttrykk for [tex]a_n[/tex] [tex]a_:n=\frac 1{n(n+1)}[/tex]. Dette stemmer med fasit.
b) Finn summen av rekken dersom den konvergerer Fasit: s=1, men jeg får [tex]s=\frac 34[/tex] Er dette feil i fasit eller har jeg regnet feil? Brukte at a_1=1/2 og k=1/3...

[Nebuchadnezzar]

6.65b) Du deler opp uliheten i to deler altså [tex]-1<\frac{x}{x-1}[/tex] og [tex]\frac{x}{x-1}<1 [/tex]

Så ser du på hvilke verdier av x som oppfyller begge likhetene.

Altså sett hver av ulikhetene opp i et fortegnskjema. Så får du ei linje for hver av likhetene. Disse to linjene setter du inn i et nytt fortegnsskjema... Mener jeg. Mulig denne siste delen er feil, det riktige er uansett to likheter.

6.68 a)

Løses på samme måte som 6.65 her setter vi opp to ulikheter

6.67 k=1/2 ikke 1/3

[Solar Plexsus]

6.65b

Nå er

[tex]\frac{x}{x-1} \: = \: \frac{x-1+1}{x-1} \: = \: 1 \, + \, \frac{1}{x-1},[/tex]

som innsatt i dobbeltulikheten gir

[tex]-2 \: < \: \frac{1}{x-1} \: < \: 0.[/tex]

Ulikheten [tex]1/(x-1) \,<\, 0[/tex] har løsningen [tex]x\,<\,1[/tex], som igjen medfører at ulikheten

[tex]-2 \: < \: \frac{1}{x-1}[/tex]

kan løses ved å gange begge sider med [tex]x-1[/tex] (som er mindre enn 0 siden [tex]x \,<\, 1[/tex]). Resultatet blir

[tex]-2(x - 1) \: > \: 1[/tex]

som har løsningen [tex]x\, < \, 1/2.[/tex] Altså er konvergensområdet [tex]\langle \leftarrow, \, 1/2 \rangle.[/tex]


6.68a

Dobbeltulikheten [tex]-1 \:<\: 1 \,-\, \cos x \:<\: 1[/tex] er ekvivalent med ulikhetene [tex]-1 \:<\: 1 \,-\, \cos x[/tex] og [tex]1 \,-\, \cos x \:<\: 1[/tex], dvs. [tex]\cos x \:<\: 2[/tex] og [tex]\cos x \:>\: 0[/tex]. Ettersom [tex]-1 \: \leq \: \cos x \: \leq \: 1[/tex] for alle [tex]x[/tex], står vi igjen med ulikheten [tex]\cos x \:>\: 0[/tex]. I første omløp har denne ulikheten løsningen

[tex]x \in [0, \frac{\pi}{2} \rangle \: \cup \: \langle \frac{3\pi}{2}, 2\pi \rangle[/tex].

M.a.o. kan ikke [tex]x=\pi[/tex] være med i konvergensområdet (Det gir jo [tex]k \:=\: 1 \,-\, \cos \pi \:=\: 1 \,-\, (-1) \:=\: 1 \,+\, 1 \:=\: 2[/tex] som åpenbart er feil).


6.79
Legg merke til at

[tex]a_n \: = \: \frac{1}{n(n+1)} \: = \: \frac{1}{n} \: - \: \frac{1}{n+1}[/tex].

Følgelig blir

[tex]a_1 \:+\: a_2 \:+\: a_3 \:+\: a_4 \:+\: \cdots \:+\: a_n[/tex]
[tex]= \: (1 \:-\: ) \:+\: (\frac{1}{2} \: - \: \frac{1}{3}) \:+\: (\frac{1}{3} \: - \: \frac{1}{4}) \:+\: (\frac{1}{4} \: - \: \frac{1}{5}) \:+\: \cdots \:+\: (\frac{1}{n} \: - \: \frac{1}{n+1})[/tex]
[tex]= \: 1 \:-\: \frac{1}{n+1}[/tex].

Herav følger at summen av denne rekken konvergerer mot 1.