Oppgave 8.2.6kjey skrev:OPPGAVE:
La [tex]f:[a,b] \to \mathbb{R}[/tex] være gitt ved [tex]f(x)=x.[/tex] For hver [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] la [tex]\Pi_n[/tex] være partisjonen [tex]\left \{0, 1/n, 2/n, ..., (n-1)/n, 1} \right[/tex]. Finn uttrykk for de øvre og nedre trappesummene [tex]\phi(\Pi_n)[/tex] og [tex]N(\Pi_n)[/tex].
--------
Jeg starter med å prøve å finne et uttrykk for den øvre trappesummen. Vet at øvre trappesum er gitt ved
[tex]\phi(\Pi_n)=\sum_{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})[/tex]
Det jeg tenkte (for å forenkle uttrykket) er at [tex]M_i[/tex] alltid må være [tex]x_i[/tex] siden det er den som gjør at [tex]f[/tex] får størst verdi i alle tilfellene. Derfor kan jeg skrive at
[tex]\phi(\Pi_n)=\sum_{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})=\sum_{i=1}^{n}x_{i}(x_{i}-x_{i-1})[/tex]
Men dette igjen kan jo skrives som
[tex]\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n}(\frac{i}{n} - \frac{i-1}{n})=\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n^2}[/tex].
[tex]\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}i=(\frac{1}{n^2})\frac{n(n + 1)}{2}=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{n})[/tex]
La a være et positivt tall, la [tex]\: f(x)=x^2 \:[/tex] og la [tex]\: \Pi_n={0,a/n,2a/n,3a/n,....,a} \:[/tex] være en partisjon av intervallet [0,a].
a)Finn uttrykk for den øvre trappesummen.
På forhånd takk!
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)