Lineær algebra; finn koeffisientmatrisa 2

[tante grønn]

Beklager at dette blir veldig langt. Låner informasjonen til Ostbågar:

"Vi skal studere funksjonen [tex] f: K \rightarrow \mathbb{R} [/tex] der [tex]K = [0,n][/tex] x [tex][0,n] \subset \mathbb{R}^2[/tex] er et kvadrat i uv-planet, og der [tex]n \geq 1[/tex] er et naturlig tall.

[tex]K[/tex] deles inn i [tex]n^2[/tex] mindre kvadrater med hjørner [tex](i,j) \in \mathbb{R}^2[/tex] der [tex]0 \leq i, j \leq n[/tex] er hele tall. Det er [tex]N = (n+1)^2[/tex] slike hjørner.


Vi har allerede bevist at for hvert naturlig tall [tex]k[/tex], [tex]1 \leq k \leq N[/tex] finnes det bare ett par (i,j) slik at [tex]k = (i+1) + j(n+1)[/tex]

Til en funksjon [tex] f: K \rightarrow \mathbb{R} [/tex] tilordner vi en vektor x som inneholder funksjonsverdien til [tex]f[/tex] i de [tex]N[/tex] hjørnene: [tex] \vec{x} = (x_1 ,... , x_k, ... , x_N)[/tex], der [tex]x_k = f(i,j)[/tex]

Og; Vi har en funksjon: [tex]f(u,v) = au^2 + buv + cv^2 + du + ev +h[/tex] der a,b,c,d,e,h er reelle konstanter.

Og; Vi har allerede vist at: [tex]f(i,j-1) + f(i-1,j) -4f(i,j) + f(i+1,j) + f(i,j+1) = 2a + 2c[/tex] for alle par (i,j) av hele tall med 0 < i, j <n


Så til selve oppgaven (!):
Vi betrakter tilfellet n = 3.

Ligningssystemet som består av de [tex](n-1)^2 = 4[/tex] ligningene: [tex]f(i,j-1) + f(i-1,j) - 4f(i,j) + f(i+1,j) + f(i,j+1) = 0[/tex],

for [tex](i,j) = (1,1), (2,1), (1,2), (2,2)[/tex], i de [tex]N = (n+1)^2 = 16[/tex] ukjente: [tex]\vec{x} = (x_1,...x_{16}) = (f(0,0), f(1,0), f(2,0), f(3,0), f(0,1)... f(3,3)[/tex],

kan skrives på matriseform som Bx = 0

Finn 4x 16 koeffisieTnmatrisen B[/color]"

Dette har eg gjort, men så kjem problemet

Anta at funksjonen [tex]f [/tex] er konstant lik 2å randen av kvadratet [tex]K[/tex], slik at
[tex]f(i, j) = 2 [/tex]
for alle[tex] (i, j)[/tex] med[tex] i = 0, i = 3, j = 0 eller j = 3[/tex].

Det er [tex]4n = 12[/tex] slike likninger, som
involverer de ukjente [tex]x1, . . . , x5, x8, x9, x12, . . . , x16[/tex].

De 4 + 12 = 16 likningene kan skrives på matriseform som Ax = b, der A er en 16 × 16 matrise. Likningene kan
ordnes i en slik rekkefølge at diagonalelementene i A er lik 1 eller −4, for hver 1 ≤ k ≤ 16.
(La radene i B forekomme som rad 6, 7, 10, 11 i A.)


Skal altså finne Ax = b

Skjønnar ikkje heilt kva matrisa A og høgresida (b) skal vere? I oppgåva der me skulle finne B var det differensiallikninga som var lik 0. Eg spør vel eigentlig om kva A og b representerar. Me veit jo at x er kolonne med 2-erar på 12 av plassane.... Er fullstendig lost. Korleis skal eg gripe dette an?

Takk! [/b]

[tante grønn]

ehm. er det snakk om å sette opp koeffisientar til et inhomogen differensiallikning?

[tante grønn]

blei viss ikkje klokare av min eigen ide. Ingen som har innspel? Kan ikkje bruke formelen for 2a + 2c for dei andre hjørna då dei ikkje gjeld for i>0.. Eit hint, nokon?

[mattemiks]

Vet ikke om jeg har gjort oppgaven rett, men jeg tolket det slik at f(i,j-1)+... formelen gjelder for alle punktene og ikke bare de som ligger i midten.

Setter inn i formelen for 0,0:
(setter inn de verdiene vi kjenner)
f(0,-1)+f(-1,0)-4f(0,0)+f(1,0)+f(0,1)=f(0,-1)+f(-1,0)-4*2 + 2+2=-4

kan da bare fjerne de f() verdiene som ligger utenfor K da de er på begge sider i ligningen (samme gjelder for de gangene du får et punkt i midten).
sitter da igjen med -4x1 + x2 + x5 = -4. Gjør dette for alle punktene, får da 12 ligninger der de ukjente kun er de som ligger på randen. Venstresiden av lign blir matrisen A, mens høyre blir bverdiene.
Starter man på 0,0 som første rad i A blir diagonalelementene lik -4 hele veien nedover som er vel det oppgaven sier at skal være.

I oppgv 7 er det bare å slå disse to sammen og radredusere i matlab. Får da en entyding løsning med x vektor som bare 2 tall.

[Markonan]

Dette er en ganske omfattende oppgave, og det tar ganske lang tid å sette seg inn i den. Jeg vet ikke hvordan det er med de andre her, men det er sjeldent jeg gidder å hjelpe noen med mindre jeg ser hva svaret skal være med en gang.

Jeg hjalp noen litt med denne oppgaven før i dag, så jeg vet sånn ca hva matrisen skal være.

Du har fått oppgitt ligningene på denne formen:
[tex]f(i,j-1) + f(i-1,j) - 4f(i,j) + f(i+1,j) + f(i,j+1) = 0[/tex]

For f.eks, i=1, j=1, så får du:
[tex]f(1,0) + f(0,1) - 4f(1,1) + f(2,1) + f(1,2) = 0[/tex]

Deretter bruker du dette:
[tex]\vec{x} = (x_1,...x_{16}) = (f(0,0), f(1,0), f(2,0), f(3,0), f(0,1)... f(3,3)[/tex]

Så for i=1, j=1 har du:
[tex]x_2 + x_5 - 4x_6 + x_9 = 0[/tex]

Det du har på venstresiden her er deler av matrisen A ganget med x.

For å ta et mindre eksempel så du ser sammenhengen:
[tex]\begin{bmatrix}1 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} \;=\; \begin{bmatrix}x_1 - 2x_3\\ x_2\\ -x_1 + x_2\end{bmatrix}[/tex]

Det du har er resultatet av multiplikasjonen, og ut fra det du har funnet skal du "jobbe bakover" og finne A.

[tante grønn]

aha - tusen takk! Da er eg på rett veg:)