Oppgave 8.1.13
La b>a>0 og la k være et positivt reelt tall. Gitt en [tex]\: n \in \mathbb{N} \: [/tex], la [tex]\: \Pi_{n}=x_{0},x_{1},...,x_{n} \:[/tex] være partisjonen av [tex]\: [a,b] \:[/tex] gitt ved
[tex]x_{0}=a, \: \: x_{1}=at, \: \: x_{2}=at^2 , ...., \: x_{n}=at^{n}=b[/tex]
der [tex]\: t= (\frac{b}{a})^{\frac{1}{n}} \:[/tex]. La [tex]\: f(x)=x^{k} \:[/tex].
a) Vis at den nedre trappesummen kan uttrykkes som
[tex]N(\Pi_{n})=a^{k+1}(t-1) \frac{t^{(k+1)n} -1}{t^{k+1} -1}[/tex]
Prøvde å vise det slik:
[tex]N(\Pi_{n})=\sum_{i=1}^{n} \: m_{i}(x_{i}-x_{(i-1)})[/tex]
[tex]\sum_{i=1}^{n} (x_{(i-1)})^{k}(x_{i}-x_{(i-1)})[/tex]
[tex]\sum_{i=1}^{n} \: (at^{(i-1)})^{k}(at^{i}-at^{(i-1)})[/tex]
[tex]N(\Pi_{n})=\sum_{i=1}^{n} \: at^{(i-1)k+i}-at^{(i-1)k+i} at^{-1}[/tex]
[tex]N(\Pi_{n})=\sum_{i=1}^{n} at^{-1}[/tex]
Nå: Hvordan kan dette bli lik det som oppgaven viser for [tex]\: N(\Pi_{n})[/tex]
??
Finn nedre trappesums-uttrykk
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Vi kan ta det fra
[tex]\sum_{i=1}^n (at^{i-1})^k(at^i-at^{i-1})=a^{k+1}\sum_{i=1}^n(t-1)t^{ki-k+i-1}[/tex]
Her kan mer settes utenfor sum-tegnet og vi kan identifisere en geometrisk rekke:
[tex]a^{k+1}t^{-(k+1)}(t-1)\sum_{i=1}^n(t^{k+1})^i=a^{k+1}(t-1)\sum_{i=1}^n(t^{k+1})^{i-1}[/tex]
Sum-formelen for geometrisk rekke gir så
[tex]a^{k+1}(t-1)\cdot\frac{t^{(k+1)n}-1}{t^{k+1}-1}[/tex]
[tex]\sum_{i=1}^n (at^{i-1})^k(at^i-at^{i-1})=a^{k+1}\sum_{i=1}^n(t-1)t^{ki-k+i-1}[/tex]
Her kan mer settes utenfor sum-tegnet og vi kan identifisere en geometrisk rekke:
[tex]a^{k+1}t^{-(k+1)}(t-1)\sum_{i=1}^n(t^{k+1})^i=a^{k+1}(t-1)\sum_{i=1}^n(t^{k+1})^{i-1}[/tex]
Sum-formelen for geometrisk rekke gir så
[tex]a^{k+1}(t-1)\cdot\frac{t^{(k+1)n}-1}{t^{k+1}-1}[/tex]
