Derivasjon, produktregelen

[ambitiousnoob]

Hei!

Sitter og holder på med følgende oppgave:

Regn ut den deriverte av:

[tex]g(x)=x^2(x+3)^4[/tex]

Jeg tenker på produktregelen. Hvis jeg setter

[tex]u=x^2[/tex]

og

[tex]v=(x+3)^4[/tex]

Gir produktregelen:

[tex]2x(x+3)^4+x^2*3(x+3)^3[/tex]

Hvis jeg nå skal gange ut alt dette (nå kan jeg jo bruke pc, men tenker i en gitt eksamensanledning) så vil det jo bli veldig lange mellomregninger. Noen som har en lettere måte å gjøre dette på?

[Nebuchadnezzar]

Om du setter [tex]a=(x+3)[/tex]

Slik at du får [tex]2x \cdot a^4+3x^2\cdot a^3[/tex]

Blir det da litt lettere å se faktoriseringen? du trenger ikke gange ut parentesene bare sette like ting utenfor parentesen =)

[ambitiousnoob]

Hei!

Når jeg så den forklaringen tenkte jeg "aha, det så veldig smart ut, nå kommer jeg til å forstå det", men klarte ikke helt å se det likevel he he...Det du gjør blir det en kombinasjon av kjerneregel og produktregel? Det kan være at det er mine (ikke fullt så gode) faktoriserings-skills som gjør at jeg ikke helt ser den..

[Nebuchadnezzar]

Neida, jeg bare brukte akkurat det du har gjort. Det med at vi setter [tex]a=(x+3)[/tex] gjør man bare for at det skal bli lettere å se.

For eksempel kan vi faktorisere uttrykkene under slik:

[tex]x^3+x^2=x^2(x+1)[/tex]

Vi kan også faktorisere uttrykket over, ved å sette [tex]x^2=a[/tex]

[tex]x\cdot a+a=a(x+1)=x^2(x+1)[/tex]

Litt værre uttrykk under, men fremgangsmåten er det samme

[tex](x+3)(x+1)^3+(x-2)(x+1)^2[/tex]

Vi setter [tex](x+1)=a[/tex] siden det forekommer flest ganger

[tex](x+3)a^3+(x-2)a^2[/tex]

[tex]a^2((x+3)a+(x-2))[/tex]

[tex](x+1)^2((x+3)(x+1)-(x-2))[/tex]

[tex](x+1)^2((x^2+4x+3)-(x-2))[/tex]

[tex](x+1)^2(x^2+3x+1)[/tex]

[ambitiousnoob]

Hvis jeg da prøver:

[tex]g`(x)=2x\cdot a^4+x^2\cdot 3\cdot a^3[/tex]

[tex]a^3(2x\cdot a+x^2\cdot 3)[/tex]

[tex]a^3(2x\cdot a+3x^2)[/tex]

[tex]a^3(2x(x+3)+3x^2)[/tex]

[tex]a^3(2x^2+6x+3x^2)[/tex]

[tex]a^3(5x^2+6x)[/tex]

Er jeg da på rett vei?:)

[Nebuchadnezzar]

Nesten rett det der, videre kan jo du faktorisere ut x og, men det er jo en liten ting. selv ville jeg ført det slik. Men det er en smakssak. Før det slik at du forstår hva du gjør. På mer kompliserte uttrykk som derivasjon av stygge brøkfunksjoner er det å bytte ut ting med a gull verdt. Både fordi det gjør det lettere å se hva som foregår, og det blir mindre å skrive ^^

[tex] g\left( x \right) = {x^2}{\left( {x + 3} \right)^4} [/tex]

[tex] \left( {uv} \right)^{\tiny\prime} = u^{\tiny\prime}v + uv^{\tiny\prime}[/tex]

[tex] u = {x^2},u^{\tiny\prime} = 2x,{\rm{ og }}v = {\left( {x + 3} \right)^4}{\rm{ }}{\rm{, }}v^{\tiny\prime} = 4{\left( {x + 3} \right)^3} [/tex]

[tex] g^{\tiny\prime}\left( x \right) = 2x{\left( {x + 3} \right)^4} + {x^2}4{\left( {x + 3} \right)^3} [/tex]

[tex] g^{\tiny\prime}\left( x \right) = {\left( {x + 3} \right)^3}\left( {2x\left( {x + 3} \right) + {x^2}4} \right) [/tex]

[tex] g^{\tiny\prime}\left( x \right) = 2x{\left( {x + 3} \right)^3}\left( {\left( {x + 3} \right) + 2x} \right) [/tex]

[tex] g^{\tiny\prime}\left( x \right) = 2x{\left( {x + 3} \right)^3}\left( {3x + 3} \right) [/tex]

[tex] \underline{\underline {g^{\tiny\prime}\left( x \right) = 6x{\left( {x + 1} \right)}{\left( {x + 3} \right)}^3}} [/tex]

Så kan du selv få oppdage den lille slurvefeilen du gjorde ^^

[ambitiousnoob]

He he jeg ser og ser men ser ikke hva slurvefeilen er;)

Men jeg lurte på om vi kunne gått gjennom overgangene dine så jeg fullt og helt forstår hva som skjer? Håper ikke det blir for masete dette:)

I fjerde linje fra slutten, blir (x+3)^4 redusert til (x+3)^3, klarer ikke helt se den

[Markonan]

[tex]g`(x)=2x\cdot a^4+x^2\cdot 3\cdot a^3[/tex]

Her deriverer du a[sup]4[/sup] feil. Det er slurveleifen.

I linjen du snakker om, så blir (x+3)[sup]3[/sup] faktorisert ut. Ser du det da?

[Nebuchadnezzar]

Vel du har derivert v feil. Det er vel den lille slurvefeilen

[tex] u = {x^2},u^{\tiny\prime} = 2x,{\rm{ og }}v = {\left( {x + 3} \right)^4}{\rm{ }}{\rm{, }}v^{\tiny\prime} = 4{\left( {x + 3} \right)^3} [/tex]

Videre så kan jo vi bare la [tex]a=(x+3)[/tex] for å gjøre overgangene mine litt letere å se kan vi ikke det?

[tex] g^{\tiny\prime}\left( x \right) = 2x{\left( {x + 3} \right)^4} + 4{x^2}{\left( {x + 3} \right)^3} [/tex]

[tex] g^{\tiny\prime}\left( x \right) = 2x \cdot {a^4} + 4{x^2} \cdot {a^3}[/tex]

[tex] g^{\tiny\prime}\left( x \right) = \left( {2x \cdot a + 4{x^2} \cdot 1} \right){a^3}[/tex]

[tex] g^{\tiny\prime}\left( x \right) = 2x\left( {a + 2x} \right){a^3} [/tex]

Resten er bare å sette tilbake [tex](x+3)[/tex] istedenfor a, faktorisere litt og du er i mål. Bare spør om det er mer du lurer på. Er ikke noe mer hokus ppkus enn at

[tex]a^4+a^3=(a+1)a^3 [/tex]

Eneste forskjellen her er at [tex]a=(x+3)[/tex]

[ambitiousnoob]

Genialt, nå ser jeg det, takk for at du tok deg tid til å vise!:)

Ser absolutt fordelen med å kunne sette inn a i uttrykkene for å gjøre det lettere, holder på å repetere derivasjon nå så skal ikke se bort fra at det dukker opp litt flere spørsmål her.