Konvergens
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Mener du i sammenheng med markovkjeder, tilfeldige variable eller noe annet? Så vidt jeg vet fins det mange ulike konvergenskonsepter. Jeg ville søkt på stokastisk konvergens på wiki.
For en vanlig tallfølge er det vanlig å definere konvergens ved at avstanden mellom leddene og grensen (hvis den finnes) går mot null utover i følgen.
Når vi snakker om konvergens generelt må vi jobbe i det man kaller et normert rom, eller et metrisk rom. Det vil som regel si et vektorrom der vi definerer en avstandsfunksjon (eller metrikk) [tex]d(u,v)[/tex], der [tex]u[/tex] og [tex]v[/tex] er medlemmer av rommet og avstandsfunksjonen oppfyller visse aksiomer (google er din venn). Dermed kan vi si at en følge av elementer [tex]\{ f_n \}[/tex] konvergerer til et element [tex]f[/tex] hvis [tex]\lim_{n\to\infty} d(f_n,f)=0[/tex]. Merk at her har jeg antatt at [tex]f[/tex] er et medlem i rommet.
Det finnes mange forskjellike måter å definere konvergens, og de vil ha ulike konsekvenser. Jeg anbefaler deg derfor å være på vakt når du forsøker å sammenligne konvergens i forskjellige rom, da de kan ha helt ulike meninger.
For en vanlig tallfølge er det vanlig å definere konvergens ved at avstanden mellom leddene og grensen (hvis den finnes) går mot null utover i følgen.
Når vi snakker om konvergens generelt må vi jobbe i det man kaller et normert rom, eller et metrisk rom. Det vil som regel si et vektorrom der vi definerer en avstandsfunksjon (eller metrikk) [tex]d(u,v)[/tex], der [tex]u[/tex] og [tex]v[/tex] er medlemmer av rommet og avstandsfunksjonen oppfyller visse aksiomer (google er din venn). Dermed kan vi si at en følge av elementer [tex]\{ f_n \}[/tex] konvergerer til et element [tex]f[/tex] hvis [tex]\lim_{n\to\infty} d(f_n,f)=0[/tex]. Merk at her har jeg antatt at [tex]f[/tex] er et medlem i rommet.
Det finnes mange forskjellike måter å definere konvergens, og de vil ha ulike konsekvenser. Jeg anbefaler deg derfor å være på vakt når du forsøker å sammenligne konvergens i forskjellige rom, da de kan ha helt ulike meninger.
Konvergens i sannsynlighet er noe ganske annet enn konvergens av en følge. Definisjonen finner du her http://en.wikipedia.org/wiki/Convergenc ... robability
Løst sagt kan man si at [tex]X_n[/tex] konvergerer i sannsynlighet mot [tex]X[/tex] betyr at sannsynligheten for at forskjellen (absoluttverdien) mellom [tex]X_n[/tex] og [tex]X[/tex] er ulik 0 går mot 0 når n går mot uendelig.
Tips: Chebychevs ulikhet er ofte veldig anvendelig i forbindelse med konvergens i sannsynlighet.
Løst sagt kan man si at [tex]X_n[/tex] konvergerer i sannsynlighet mot [tex]X[/tex] betyr at sannsynligheten for at forskjellen (absoluttverdien) mellom [tex]X_n[/tex] og [tex]X[/tex] er ulik 0 går mot 0 når n går mot uendelig.
Tips: Chebychevs ulikhet er ofte veldig anvendelig i forbindelse med konvergens i sannsynlighet.
Har litt problemer med å forstå dette. Men jeg kan konkretisere problemet mitt: Utgangspunktet er at man kaster en tegnestift mange ganger og ser om den lander med spissen opp eller ned. etter hvert som man har kastet mange ganger vil relativ frekvens for A:spiss opp nærme seg sannsynligheten for at spissen skal lande opp. Nå sluttes det at P(A)=Lim (relativ frekvens), når antall forsøk går mot uendelig. Hva er forskjellen på lim i denne sammenheng og lim forstand av konvergens av tallfølge?
Den grenseverdien du snakker om her (relativ frekvens som funksjon av antall forsøk) er jo nettopp en tallfølge. Denne kan for eksempel være gitt ved {1, 1/2, 2/3 ,3/4 ,2/4 ,...}. Dermed er de to konvergensdefinisjonene ekvivalente i dette tilfellet.