separable differensiallikninger

[jossimatt]

En funksjon er y = f(x) er en løsning av differensiallikningen

y' + 5x[sup]4[/sup]y[sup]2[/sup] = 0

Grafen f går gjennom punktet ( 1, 2). Finn funksjonsuttrykket til f.

Forsøkt løst:

[tex]y\prime=-5x^4y^2[/tex] | [tex]\cdot \frac{1}{y^2}[/tex]

[tex]\frac{1}{y^2}\cdot y\prime=-5x^4[/tex]

[tex]\int \frac{1}{y^2}dy=\int -5x^4 dx[/tex]

[tex]ln |y^2| = -x^5 + C\prime [/tex]

[tex]e^{ln |y^2|} = e^{-x^5 + C\prime} [/tex]

[tex]|y^2| = e^{-x^5}\cdot e^C\prime [/tex]

[tex]y^2 = \pm e^{c\prime}\cdot e^{-x^5} [/tex]

[tex]y = \sqrt{Ce^{-x^5}} [/tex]

her må jeg ha bommet grovt noe sted.. men jeg ser ikke hva. å utlede C fra x= 1 og y = 2 her ser jeg ikke gir meg løsniningen som skal være

[tex]f(x)= \frac{2}{2x^2-1}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Feilen du gjør er når du integrerer [tex]\frac{1}{y^2}[/tex]

[jossimatt]

[tex]\int \frac{1}{y^2}dy=\int -5x^4 dx[/tex]

[tex]-\frac{1}{y}=-x^5+ C[/tex]


[tex]y=\frac{-1}{-x^5+C}[/tex]

[tex]2=\frac{-1}{-1^5+C}[/tex]

[tex]2=\frac{-1}{-1+C}[/tex]



C = 1/2

[tex]f(x)=\frac{-1}{-x^5+\frac{1}{2}[/tex].... ... fremdeles ikke rett

[Nebuchadnezzar]

[tex]f(x)=\frac{-1}{-x^5+\frac{1}{2}}\,=\,\frac{-1}{-1(x^5-\frac{1}{2})}\,=\,\frac{-1}{-1}\frac{1}{(x^5-\frac{1}{2})}\,=\,\frac{1}{x^5-\frac{1}{2}}[/tex]

[jossimatt]

den ser jeg... men løsniningen skal visstnok være



[tex]f(x)=\frac{-1}{-x^5+\frac{1}{2}}\,=\,\frac{-1}{-1(x^5-\frac{1}{2})}\,=\,\frac{-1}{-1}\frac{1}{(x^5-\frac{1}{2})}\,=\,\frac{1}{x^5-\frac{1}{2}}[/tex]

[tex]\frac{1\cdot 2}{(x^5-\frac{1}{2})\cdot 2}[/tex]

[tex]\frac{2}{2x^5-1}[/tex]

!! takk