Bevis for Taylor rekke

[krje1980]

Hei. Jeg er litt usikker på hvordan jeg skal løse følgende oppgave:

Anta at $f(z)$ er analytisk i $|z-z_0|<R_0$. Vis at

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n$, $a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$, $|z-z_0|<R_0$

Dette er en tidligere eksamensoppgave, og oppgaven har ikke fasit. I pensumboken finner jeg kun et 3 sider langt bevis for dette, og det er ikke meningen at vi skal gjengi hele beviset på en eksamen. Jeg fikk opplyst at et nøkkelord her er "geometrisk rekke", og at beviset da egentlig skal være ganske enkelt. Men ser ikke helt hvordan jeg skal gjøre dette. Jeg ser jo at dette er uttrykket for Taylor-rekker, og videre at dersom $|z-z_0|<1$ så kan vi bruke:

$\frac{1}{1-(z-z_0)}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(z-z_0{)}^n$

Jeg klarer imidlertid ikke å se hvordan jeg kan uttrykke dette i sin helhet. Setter veldig stor pris på hjelp!

[Gustav]

Jeg trodde dette var definisjonen på en analytisk funksjon. Mulig jeg misforsto spørsmålet. http://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_function

[krje1980]

Hei.

Oppgaven er ordrett som beskrevet over. I og med at det ikke er noen fasit på oppgaven får jeg ikke bekreftet hva som er "rett" måte å løse dette på. Og, som sagt, så er beviset i boken på tre sider og nokså komplisert.

[TrulsBR]

Jeg vil tro det som skal vises er den faktiske formen på $a_n$.

At en funksjon er analytisk i en omegn av et punkt vil si at den har en rekkeutvikling i omegnen; det sier ikke noe om hva rekkeutviklinga faktisk er.

I praksis er vel denne oppgaven beviset for at de to definisjonene gitt på Wikipedia er ekvivalente.

[Gustav]

Hei.

Oppgaven er ordrett som beskrevet over. I og med at det ikke er noen fasit på oppgaven får jeg ikke bekreftet hva som er "rett" måte å løse dette på. Og, som sagt, så er beviset i boken på tre sider og nokså komplisert.

Hm, hva for definisjon av "analytisk" brukes i boka da? Og hva tar beviset du refererer til utgangspunkt i. Kan du kanskje skissere hovedtrekket i beviset uten å ta med detaljer? Syns bare det høres rart ut å skulle bevise en definisjon, noe som strengt tatt ikke går an.

[krje1980]

Regner med at dette kanskje kan løses gjennom bruk av Cauchys integral formel:

http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27s ... al_formula

Skal akkurat spise middag nå, så har ikke tid å utlede noe på bakgrunn av dette nå med en gang. Men har en snikende mistanke om at jeg er på riktig spor her

[krje1980]

Hm, hva for definisjon av "analytisk" brukes i boka da? Og hva tar beviset du refererer til utgangspunkt i. Kan du kanskje skissere hovedtrekket i beviset uten å ta med detaljer? Syns bare det høres rart ut å skulle bevise en definisjon, noe som strengt tatt ikke går an.

Ja, jeg synes også denne oppgaven var merkelig. Har sett gjennom flere gamle eksamenssett, og dette har kun blitt spurt om en eneste gang. Til og med den nåværende undervisningsassistenten på kurset var usikker på hvordan han skulle løse det! Kanskje jeg får sende en mail til professoren som gav eksamensoppgaven.

[Håkon K]

Nå er jeg langt ifra å ha studert kompleks analyse, men har kikket littegrann på det på fritiden. Mener man skal bruke Cauchys integralformel, ja.
Vi har for øvrig også at den n'te deriverte $f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{f(z)dz}{(z-z_0{)}^{n+1}}$
Dermed blir $a_n=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{f(z)dz}{(z-z_0{)}^{n+1}}$
Av Cauchys integralformel er $f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{f(w)dw}{w-z}$. Videre kan $\frac{1}{w-z}$ omskrives til en geometrisk rekke, og ved videre triksing - sjekk ut: http://www2.imperial.ac.uk/~bin06/M2PM3 ... 21(11).pdf (kopier hele linken, fikk ikke url-koden til å funke)- ender vi opp med $f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(z-z_0{)}^n\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{f(w)dw}{(w-z_0{)}^{n+1}}$, som jo er lik $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(z-z_0{)}^n\cdot a_n$. Var kanskje noe slikt som var meningen med oppgaven?

[krje1980]

Tusen takk for linken, Håkon! Ja, det er nok noe slikt det er meningen vi skal gjøre. Skal studere dette nøye før eksamen .

[Gustav]

Trenger man bruke Cauchy egentlig?

En analytisk funksjon vil, pr def, kunne skrives som en konvergent Taylorrekke

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n$

Siden funksjonen er analytisk er den uendelig mange ganger deriverbar, så ved å deriverere leddvis n ganger og sette $z=z_0$, fås formen på koeffisientene.

[krje1980]

Hei igjen.

Det er nok mulig, plutarco. Har ikke sendt noen e-post til professoren som lagde oppgavesettet. Satser på å memorisere beviset i linken i tilfellet spørsmålet dukker opp på nytt