Oppgave 8.1.13
La b>a>0 og la k være et positivt reelt tall. Gitt en [tex]\: n \in \mathbb{N} \: [/tex], la [tex]\: \Pi_{n}=x_{0},x_{1},...,x_{n} \:[/tex] være partisjonen av [tex]\: [a,b] \:[/tex] gitt ved
[tex]x_{0}=a, \: \: x_{1}=at, \: \: x_{2}=at^2 , ...., \: x_{n}=at^{n}=b[/tex]
der [tex]\: t= (\frac{b}{a})^{\frac{1}{n}} \:[/tex]
Finn:
[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} \: a^{k+1}(t-1) \frac{t^{(k+1)n}-1}{t^{k+1}-1}[/tex]
Hvordan finner man denne????
Grenseverdi
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Integralen
- von Neumann
- Innlegg: 525
- Registrert: 03/10-2010 00:32
Sist redigert av Integralen den 09/05-2011 03:03, redigert 1 gang totalt.
Vi har for det første at
[tex]t^{(k+1)n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{k+1}[/tex]
slik at
[tex]a^{k+1}(t^{(k+1)n}-1)=b^{k+1}-a^{k+1}[/tex]
Videre vil
[tex]\lim_{n\rightarrow\infty}\;t=1[/tex]
slik at
[tex]\lim_{n\rightarrow\infty}\;\frac{t-1}{t^{k+1}-1}[/tex]
blir et 0/0-uttrykk. Bruk av L'Hôpitals regel gir derfor at den søkte grenseverdien blir
[tex]\frac{b^{k+1}-a^{k+1}}{k+1}[/tex] slik den skal.
[tex]t^{(k+1)n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{k+1}[/tex]
slik at
[tex]a^{k+1}(t^{(k+1)n}-1)=b^{k+1}-a^{k+1}[/tex]
Videre vil
[tex]\lim_{n\rightarrow\infty}\;t=1[/tex]
slik at
[tex]\lim_{n\rightarrow\infty}\;\frac{t-1}{t^{k+1}-1}[/tex]
blir et 0/0-uttrykk. Bruk av L'Hôpitals regel gir derfor at den søkte grenseverdien blir
[tex]\frac{b^{k+1}-a^{k+1}}{k+1}[/tex] slik den skal.
-
Integralen
- von Neumann
- Innlegg: 525
- Registrert: 03/10-2010 00:32
så blir det å riktig å sette:
[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} \: \frac{t-1}{t^{k+1}-1}=\frac{1}{(k+1)t^{k}}[/tex]
etter å ha brukt lhop regel,og nevner blir k+1 siden t=1 når n går mot uendelig?
[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} \: \frac{t-1}{t^{k+1}-1}=\frac{1}{(k+1)t^{k}}[/tex]
etter å ha brukt lhop regel,og nevner blir k+1 siden t=1 når n går mot uendelig?