Høyre og venstremultiplikasjon av matriser

[MatteNoob]

Si man har følgende matriser, hvor X, Y og Z er ukjente.

1) [tex]BX=A[/tex]

2) [tex]YB=A[/tex]

3) [tex]B+ZA^{-1} = BA^{-1}[/tex]

Hvordan vet man om man skal høyre eller venstremultiplisere for å isolere en av matrisene og løse for den?

I 1) står B til venstre for den ukjente, skal jeg da venstremultiplisere med B^{-1} på begge sider?

I 2) står B til høyre for den ukjente, skal vi høyremultiplisere på begge sider?

I 3) står de to A^{-1} til høyre for den ukjente (og den andre kjente), skal man da høyremultiplisere?

---

Hva ville skjedd om 3) var

3) [tex]B+ZA^{-1} = A^{-1}B[/tex]

[espen180]

Først må vi forsikre oss om at [tex]B[/tex] er inverterbar. Vi har gitt at [tex]A[/tex] er inverterbar ([tex]A^{-1}[/tex] optrer i ligningene) og ettersom [tex]A[/tex] er et produkt av [tex]B[/tex] og [tex]X[/tex] (eller [tex]Y[/tex]), må disse også være invertible. Den eneste matrisen vi ikke vet om er invertibel er altså [tex]Z[/tex]).

Det viktigste du må huske når du gjør slike stykker er at matrisemultiplikasjon ikke er kommutativt ([tex]AB\neq BA[/tex] generellt). Så hvis du vil eliminere en matrise som er på høyresiden må du multiplisere med dens inverterte på høyresiden osv.

På 3) anbefaler jeg å først skrive om ligningen:
[tex]B+ZA^{-1}=BA^{-1} \, \Leftrightarrow \, ZA^{-1}=BA^{-1}-B=B(A^{-1}-I)[/tex]

Med det jeg sa over overlater jeg den alternative 3)-eren til deg selv.

[MatteNoob]

Først må vi forsikre oss om at [tex]B[/tex] er inverterbar. Vi har gitt at [tex]A[/tex] er inverterbar ([tex]A^{-1}[/tex] optrer i ligningene) og ettersom [tex]A[/tex] er et produkt av [tex]B[/tex] og [tex]X[/tex] (eller [tex]Y[/tex]), må disse også være invertible. Den eneste matrisen vi ikke vet om er invertibel er altså [tex]Z[/tex]).

Ja, dette er jeg klar over. Dette innebærer at determinanten til matrisen vi ønsker å invertere ikke er 0, sant?

Det viktigste du må huske når du gjør slike stykker er at matrisemultiplikasjon ikke er kommutativt ([tex]AB\neq BA[/tex] generellt). Så hvis du vil eliminere en matrise som er på høyresiden må du multiplisere med dens inverterte på høyresiden osv.

Ja, det var dette jeg lurte på. Dette var også grunnen til at jeg kom med mitt tredje alternative eksempel, hvor den opptrer både på høyre og venstre side. :]

Takker for gode svar, selvom du tidevis bruker ord som ligger over min fatteevne (kommu-hva-for-noe?). Jeg bevitner vel bare en aspirerende akademikers vei ut av de dødeliges rekker.

På 3) anbefaler jeg å først skrive om ligningen:
[tex]B+ZA^{-1}=BA^{-1} \, \Leftrightarrow \, ZA^{-1}=BA^{-1}-B=B(A^{-1}-I)[/tex]

Med det jeg sa over overlater jeg den alternative 3)-eren til deg selv.

La meg ta dette mer trinnvis og kommentere underveis.

[tex]B+ZA^{-1} = A^{-1}B[/tex]

Siden [tex]A+B = B+A[/tex] kan vi sette

[tex]ZA^{-1} = A^{-1}B - B[/tex]

Vi ser nå at vi ønsker å faktorisere ut B, og siden IB=BI vil vi vel sette neste trinnet slik?

[tex]ZA^{-1} = A^{-1}B - IB[/tex]

Det jeg gjør under er ikke det samme som du gjorde. Her trekker jeg ut B på høyre, og ikke venstre side. Har du eller jeg gjort leif, eller er det okke som?

[tex]ZA^{-1} = (A^{-1}-I)B[/tex]

og deretter høyremultiplisere med A på begge sider.

[tex]Z= (A^{-1}-I)BA[/tex]

Eller leser man fra venstre til høyre og dermed sier at

[tex]Z= BA(A^{-1}-I) = A^{-1}BA - B[/tex]

Finnes det noen regel for å løse opp slike parenteser? Altså at faktoren utenfor parentesen på venstre side skal stå til høyre for leddene inni?

[tex]a(b+c) = ba + ca[/tex]

[espen180]

Det jeg gjør under er ikke det samme som du gjorde. Her trekker jeg ut B på høyre, og ikke venstre side. Har du eller jeg gjort leif, eller er det okke som?

[tex]ZA^{-1} = (A^{-1}-I)B[/tex]

Forskjellen kommer av at vi startet med forskjellige ligninger. Jeg hadde [tex]BA^{-1}[/tex] på høyresiden, mens du hadde [tex]A{-1}B[/tex].

og deretter høyremultiplisere med A på begge sider.

[tex]Z= (A^{-1}-I)BA[/tex]

Eller leser man fra venstre til høyre og dermed sier at

[tex]Z= BA(A^{-1}-I) = A^{-1}BA - B[/tex]

Finnes det noen regel for å løse opp slike parenteser? Altså at faktoren utenfor parentesen på venstre side skal stå til høyre for leddene inni?

[tex]a(b+c) = ba + ca[/tex]

Du distribuerer produktet på samme side som parantesen. Altså [tex](A+B)C=AC+BC[/tex] og [tex]A(B+C)=AB+AC[/tex]. En nødvendig konsekvens er at summer som [tex]AB+BC[/tex] ikke kan faktoriseres generellt.

Så [tex]Z= (A^{-1}-I)BA[/tex] blir riktig, mens [tex]Z= BA(A^{-1}-I)[/tex] er galt. Dette kan vi lett se fordi det andre uttrykket impliserer at [tex]Z=B-A[/tex], men hvis vi setter dette inn i den opprinnelige ligningen får vi [tex]B+(B-A)A^{-1}=B+BA^{-1}-I\neq A^{-1}B[/tex].

Forresten, det følger ikke av [tex]A+B=B+A[/tex] at [tex]A+B=C \, \Leftrightarrow\, A=C-B[/tex]. Dette følger av at vi for hver matrise [tex]A[/tex] alltid kan finne en matrise [tex]-A[/tex] slik at [tex]A+(-A)=(-A)+A=0[/tex]. Dette formaliseres i gruppeteori og ringteori.

[MatteNoob]

Ok, da tror jeg at jeg har denne delen av matrisenes univers på stell. Hyller deg for god hjelp, takkelakk :]

Du distribuerer produktet på samme side som parantesen...

SKAM DEG!

Men alvorlig, tusen takk. Tror jeg forstår mye mer av dette nå. Kanskje jeg t.o.m klarer å løse det likningsettet med mange ukjente, som du sendte meg for 3-4ish år siden, vha matriser. :]