Hei,
oppgaven jeg ser på lyder som følger: Finn en konform avbildning fra enhetsdisken til øvre halvplan ([tex]H:={z:Imz>0}[/tex]) som tar 0 til i og 1 til [symbol:uendelig].
Har løsningsforslag, det sier (blant annet) som følger:
Punktene 0 og [symbol:uendelig] er symmetriske med hensyn til [symbol:diff] D (der D er enhetsdisken). Dermed er T([symbol:uendelig]) symmetrisk med T(0)=i med hensyn til realaksen.
Konklusjonen som trekkes er grei, men hvorfor er 0 og [symbol:uendelig] symmetriske med hensyn til enhetssirkelen? Er det fordi det er punktene som ligger lengs unna på hver sin side?
Konform avbildning (sliter med å se symmetri)
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
To punkter er symmetriske med hensyn på en sirkel dersom punktene ligger på en stråle fra senter i sirkelen samt at produktet av avstandene fra hvert punkt til senteret er lik kvadratet av radiusen til sirkelen. (det eneste mulige symmetriske punktet til 0 er derfor [tex]\infty[/tex], så jeg antar det er definert slik)
Det som skjer her er vel at enhetssirkelen avbildes på den reelle aksen, og symmetriske punkter i forhold til enhetssirkelen avbildes under konforme avbildninger til symmetriske punkter i forhold til den reelle aksen. Derfor må [tex]T(\infty)=-i[/tex]. Siden vi da har gitt 3 punkter vil avbildningen(Möbiustransformasjonen) være entydig bestemt.
Det som skjer her er vel at enhetssirkelen avbildes på den reelle aksen, og symmetriske punkter i forhold til enhetssirkelen avbildes under konforme avbildninger til symmetriske punkter i forhold til den reelle aksen. Derfor må [tex]T(\infty)=-i[/tex]. Siden vi da har gitt 3 punkter vil avbildningen(Möbiustransformasjonen) være entydig bestemt.