stokes theorem

[gill]

lurer på oppgave 13:

http://bildr.no/view/882039

Jeg har prøvd å løse den som sirkelintegral i planet som de og gjør i fasit.

Jeg ser at radius er 2 som gitt i oppgaven og at sirkelen har radius 2

så en vektor for sirkelen burde kunne ordnes slik:

[tex]2cos\theta i + 2sin\theta j[/tex]

så skulle man kunne ordne det slik at

[tex]\frac{dr}{dt}=-2sin\theta i+ 2cos\theta j[/tex]

formel for sirkelintegral er

[tex]\int F\cdot dr=\int F\cdot \frac{dr}{dt} dt[/tex]

så integralet er gitt hvis man kunne uttrykke F med polarkoordinater for x og y-komponent som de har gjort i fasit. Men hvordan gjør man det?

Fasitens tale (står ikke utregning, altså fasiten er tekst før 21):

http://bildr.no/view/882046

Første del av fasit her

http://bildr.no/view/881658

[Vektormannen]

Det står jo i fasiten? Du vet jo at [tex]x = 2 \cos t [/tex], [tex]y = 2 \sin t[/tex] og z = 0 på sirkelen. Da må F være på formen [tex](2 \cdot 0, 3 \cdot 2 \cos t, 5 \cdot 2 \sin t)[/tex], på sirkelen.

[gill]

Ok flotters. Hangler litt rundt med disse omskrivningene, men tror jeg ser den nå. Tolka jo komma feil i tillegg sånn går det når man skal famle seg fram.

Denne oppgaven kan løses ved parameterisering av surface, den andre løsningsmåten for Greens theoorem.

Så da prøver jeg å resonere her

For å integrere overflaten. Må man finne en vektor som går fra origo til alle punkter på overflaten. Den er jo gitt i oppgave 13 og vet ikke om jeg hadde funnet den hvis ikke i og med at de ikke sier noe om form på overflaten i toppen der. Men siden den tydeligvis er oppgitt så kan man jo ta lengden av kryssproduktet for å finne areal av parallellogram fra krysprodukt som jo kan skrives som

(jeg synes det er litt hjelpende drive å mane fram ting her på forum av en eller annen grunn så da blir det lett forsøk på babling)

|a||b|sinx

Ja altså når parallelogrammene blir små så vil de være en god aapproksimering for overflate og vi får overflaten ved:

[tex]|\vec{r_u} \times \vec{r_v}\Delta x \Delta y|[/tex]

så dette kan man integrer overflaten med.

Så var det curlvektoren som er en lang greie
[tex]curl F=(\frac{\part P}{\part y}-\frac{\part N}{\part z})i+(\frac{\part M}{\part z}-\frac{\part P}{\part x})j + (\frac{\part N}{\part x}-\frac{\part M}{\part y})k[/tex]

som skal prikkes med normalvektoren siden i j og k angir curl rundt disse aksene. Så var det å finne n og da er det jo slik at n står normalt på

[tex]|\vec{r_u} \times \vec{r_v}|\Delta x \Delta y[/tex]

Men det som jeg stundom lurer på er hvordan vet man at n går normalt ut av overflaten og ikke inn i overflaten. Curl er jo definert til å gå mot klokka rundt positive akse. Da bør vel n peke ut av overflaten

Her er fasit hvor oppgaven løses slik. Skjønner ikke hvordan de ser at denne retningen på n blir riktig nei.

http://bildr.no/view/882066

[Vektormannen]

Så normalvektoren vil være [tex]\pm (r^2 \cos \theta, r^2 \sin \theta, r)[/tex]. Ser du for deg hvordan denne vektoren ser ut? Hvis man står i origo og vektoren har positivt fortegn så vil x- og y-komponentene peke ut fra origo (som i en sirkel) og z-komponenten vil alltid være positiv. Det betyr at vektoren vil peke ut fra kuleskallet. Hvis den hadde hatt negativt fortegn ville den nødvendigvis pekt innover mot origo. Det er som regel slike vurderinger du må gjøre for å finne riktig fortegn.