Vi kan skrive løsningen for en homogen lineær ODE slik:
y'+p(x)y=0
så prøver vi å integrere
[tex]\frac{dy}{y}=-p(x)dx[/tex]
og
[tex]ln|y|=-\int p(x)dx+c*[/tex]
og [tex]y(x)=ce^{-\int p(x)dx}[/tex]
hvor [tex]c=\mp e^{c^*}[/tex]
avhengig av om y er større eller mindre enn 0.
Så sånn som jeg ser det y for en x gir at løsningen har en gitt konstant gganget med - i som er opphøyd i e
Men senere i boken står det
y'+ky=0
gir løsning
[tex]y=ce^{-kx}[/tex] (1)
som går opp med det over siden her er p(x)=k
men i det avsnittet ser de på
y''+ay'+by=0 (2)
og fra (1) sier de at de prøver løsningen
[tex]y=e^{\lambda x}[/tex]
de finner uttrykk for y' pg y'':
[tex]\frac{dy}{dx}=\lambda e^{\lambda x}[/tex]
og
[tex]\frac{dy}{dx}=\lambda^2 e^{\lambda x}[/tex]
når de setter det inn i (2) får de:
[tex](\lambda^2+a\lambda+b)e^{\lambda x}=0[/tex]
[tex]e^{\lambda x}[/tex] kan aldri bli helt 0 (den går jo bare mot 0, blir ikke det riktig?) derfor skriver vi:
[tex](\lambda^2+a\lambda+b)=0[/tex]
som er en andregradsligning som går opp. Er det sånn vi beviser at
[tex]y=e^{\lambda x}[/tex]
siden vi se rat den går opp for ligningen?
