Kvadratrot av komplekst tall

[steffan]

Hei, sliter litt med å komme videre i denne oppgaven:

Har funnet denne formelen:


Men etter å ha gjort om oppgaven til dette kommer jeg ikke videre:
$2\cdot \sqrt[4]{-\frac{2}{1+\sqrt{3}\cdot \sqrt[4]{-1}}}$

I formelen jeg fant ser det ut som om jeg kun trenger å finne r og vinkelen, men da må jeg først finne det imaginære og reelle tallet, men skjønner ikke hvordan jeg skal gjøre om formelen til a+ib eller om det er andre måter å gjøre det på.

Håper noen kan hjelpe

[Vektormannen]

Det første du bør gjøre er å finne et annet uttrykk for z. Det er vanskelig å forholde seg til komplekse tall som har en kompleks sum i nevneren. Hva får du om du ganger i teller og nevner med den konjugerte av nevneren?

[steffan]

Hmm, da får jeg:
$2\cdot \sqrt[4]{-\frac{(2-\sqrt{3i})}{(1-3i)}}$

Hadde glemt det der med den konjugerte, takk for det

Men nå da? Er det bare å gjøre det samme om igjen, og håpe på at brøken forsvinner?

[Vektormannen]

Hvis du endte opp med det der så har du gjort det feil. Husk på at $(1-\sqrt{3}i)(1+\sqrt{3}i)=1^2-(\sqrt{3}i{)}^2=1+(\sqrt{3}{)}^2=4$. Så du får altså: $\frac{-32}{1+\sqrt{3}i}=\frac{-32(1+\sqrt{3}i)}{4}=-8(1+\sqrt{3}i)$. Dette tallet bør det være mye enklere å finne radius og vinkel for.

[steffan]

Ærs, så nå at i'en ikke var inne i kvadratrota sammen med 3'ern.

Funka faktisk å gange nevneren med konjugerte en gang til (hvis i'en hadde vært inne i kvadratrota), men blir jo feil uansett.

Takk, da har jeg jo lært ganske mye, får prøve å fortsette.

[steffan]

Ok, da begynner jeg å få til noe her, men hvorfor skal du ikke gange med -8 før du velger a og bi for å regne ut radius og vinkel?

[zell]

$z=x+iy=r{e}^{i\theta }$ hvor $r=\sqrt{x^2+y^2},\theta =\arctan \frac{y}{x}$

$z=c(x+iy)=r{e}^{i\theta },r=c\sqrt{x^2+y^2},\theta =\arctan \frac{\cancel{c}y}{\cancel{c}x}$

Du ser at $z=c(x+iy)=c\cdot r{e}^{i\theta }$

[Integralen]

Du har :

$x=-1$

$y=-\sqrt{3}$

$c=8$

Dermed:

$r=8(\sqrt{(-1{)}^2+(-\sqrt{3}{)}^2})=16$

og

$\theta =arctan\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$

Og da kan du prøve å sette det inn i formelen du viste.

Også: Stemmer det med fasiten?

[steffan]

Takk Klarte å løse den til slutt, svaret er:

$2e(\frac{\pi }{6}+\frac{n\pi }{2})$