Omskriving av et par uttrykk

[Aleks855]

Hei igjen,

Mine oppgaver var å finne eksakte verdier for sin15 og cos15.

Jeg fikk følgende:

[tex]sin15^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4}[/tex]. Utregningen min er riktig, men fasiten sier at:

[tex]sin15^\circ = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}[/tex]

Satte begge inn på kalkulatoren som viste svaret [tex]\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex], men jeg skulle gjerne lært meg å skrive om slike uttrykk fra og til hverandre.

Noen som kan vise meg hvordan man ville gjort sånt? Jeg kan noen regneregler som omhandler røtter, men det er tydeligvis noe jeg ikke har lært enda.

Jeg ser naturligvis sammenhengen mellom det første og det siste uttrykket, da det bare er parantesen som er løst opp. Men hva med fasitsvaret? Hvordan henger den sammen med de to andre?

På forhånd takk!

[Nebuchadnezzar]

[tex]{\left( {\frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}} \right)^2} \, = \, \frac{1}{{16}}\left( {6 - 2\sqrt 6 \sqrt 2 + 2} \right) \, = \, \frac{1}{{16}}\left( {8 - 2\sqrt {12} } \right) \, = \, \frac{1}{{16}}\left( {8 - 4\sqrt 3 } \right) \, = \, \frac{1}{4}\left( {2 - \sqrt 3 } \right)[/tex]

Vil du ha litt trening

http://www.udir.no/upload/Eksamen/Vider ... R1_V10.pdf

Gjør oppgave 5 I og 5 II uten hjelpemidler.

Svaret på oppgave 5 II skal være at det minste arealet er

[tex]\frac{25}{11}(3\sqrt{3}-4)[/tex] når [tex]x=\frac{90}{4\sqrt{3}+9}[/tex]

God algebratrening.

[Fibonacci92]

Er du med på denne overgangen?

EDIT: Nebbi kom meg i forkjøpet ja...

[Aleks855]

Tror ikke jeg henger helt med.

Jeg ser kun at [tex]\sqrt{(\sqrt6-\sqrt2)^2} = \sqrt{8-2\sqrt6}[/tex]

Hvordan du får [tex]\sqrt{8-4\sqrt3}[/tex] ut av det henger jeg ikke med på.

[Nebuchadnezzar]

Aleks, henger du med på min utregning da? Burde være rimelig grei, selv om det er litt sent.

Jeg ser kun at [tex]\sqrt{(\sqrt6-\sqrt2)^2} = \sqrt{8-2\sqrt6}[/tex]

Stemmer ikke helt...

Dette stemmer derimot. [tex]\sqrt{(\sqrt6-\sqrt2)^2} = \sqrt{8-2\sqrt{12}[/tex]

[Aleks855]

Ja, stort sett. Man kan du forklare dette steget?

[tex]\frac{1}{{16}}\left( {8 - 2\sqrt {12} } \right) \, = \, \frac{1}{{16}}\left( {8 - 4\sqrt 3 } \right) \, [/tex]

Har det seg slik at [tex]\frac{\sqrt12}{2} = \sqrt3[/tex] så er jeg med, men hva er regelen her?

EDIT: Jeg drodler litt på papir, og ser at

[tex]12 = 4\cdot3[/tex]

[tex]\sqrt{12} = 2\sqrt3[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{12}}{2} = \sqrt3[/tex]

Så nytt spørsmål... Er dette en gyldig regel?

[tex]\sqrt{a} = 2\sqrt{\frac{a}{4}}[/tex]

Ser litt snodig ut. Finnes det en litt penere måte å skrive det på? Altså i regelform?

[Aleks855]

Aleks, henger du med på min utregning da? Burde være rimelig grei, selv om det er litt sent.

Jeg ser kun at [tex]\sqrt{(\sqrt6-\sqrt2)^2} = \sqrt{8-2\sqrt6}[/tex]

Stemmer ikke helt...

Dette stemmer derimot. [tex]\sqrt{(\sqrt6-\sqrt2)^2} = \sqrt{8-2\sqrt{12}[/tex]

Whoops! Jeg glemte å gange [tex]\sqrt6[/tex] med [tex]\sqrt2[/tex] der. Mener naturligvis [tex]\sqrt{(\sqrt6-\sqrt2)^2} = \sqrt{8-2\sqrt6}[/tex], som du sier

[Markonan]

Ja, stort sett. Man kan du forklare dette steget?

[tex]\frac{1}{{16}}\left( {8 - 2\sqrt {12} } \right) \, = \, \frac{1}{{16}}\left( {8 - 4\sqrt 3 } \right) \, [/tex]

Har det seg slik at [tex]\frac{\sqrt12}{2} = \sqrt3[/tex] så er jeg med, men hva er regelen her?

EDIT: Jeg drodler litt på papir, og ser at

[tex]12 = 4\cdot3[/tex]

[tex]\sqrt{12} = 2\sqrt3[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{12}}{2} = \sqrt3[/tex]

Så nytt spørsmål... Er dette en gyldig regel?

[tex]\sqrt{a} = 2\sqrt{\frac{a}{4}}[/tex]

Ser litt snodig ut. Finnes det en litt penere måte å skrive det på? Altså i regelform?

[tex]\sqrt{12} \,=\, \sqrt{4\cdot 3} \,=\, \sqrt{4}\sqrt{3} \,=\, 2\sqrt{3} \;\Longrightarrow[/tex]

[tex]2\sqrt{12} \,=\, 2\cdot 2\sqrt{3} \,=\, 4\sqrt{3}[/tex]

Angående regelen din:
[tex]\sqrt{a} \,=\, \sqrt{a\cdot 1} \,=\, \sqrt{a\cdot\frac{4}{4}} \,=\, \sqrt{4\cdot\frac{a}{4}} \,=\, \sqrt{4}\sqrt{\frac{a}{4}} \,=\, 2\sqrt{\frac{a}{4}}[/tex]

så ja, den er gyldig, men tror ikke den er så fryktelig nyttig.

[Aleks855]

Nei, ved ettertanke så ser jeg soleklart hva som skjedde her.

[tex]\frac{1}{{16}}\left( {8 - 2\sqrt {12} } \right) \, = \, \frac{1}{{16}}\left( {8 - 4\sqrt 3 } \right) \, [/tex]

Fordi [tex]2\sqrt{12} = 2\sqrt{3\cdot4} = 2\sqrt4\sqrt3 = 2\cdot2\sqrt3 = 4\sqrt3[/tex]

Jeg så bare ikke sammenhengen her tidligere.

Tusen takk for hjelpen, alle 3