Derivere funksjon

[ambitiousnoob]

Hei!

Jeg lurte på om noen kunne hjulpet meg og forklart framgangsmåten for å løse oppgaven å derivere:

[tex]f(x)=x^2sin(3x^2-1)[/tex]

Av en eller annen grunn roter jeg til disse oppgavene, blir dette en blanding av produkt og kjerneregel? Hvis noen kunne vist framgangsmåten steg for steg hadde det vært helt supert

[MatteNoob]

produkt- og kjerneregel.

u'*v + u*v' * (kjerne av v)'

du klarer sikkert

[tex]f(x)=x^2 \cdot \sin x[/tex]

den eneste forskjellen er at når du deriverer sinus, så ganger du også den deriverte av kjernen.

[ambitiousnoob]

Hei!

Takk for svar!

Hva ville du satt som kjerne her da, blir det [tex](3x^2-1)[/tex]?

[MatteNoob]

Ja, det er kjernen

[ambitiousnoob]

Blir det da:

[tex]2x\cdot sin(3x^2-1)+x^2\cdot cos6x[/tex]

? Jeg tror jeg roter med å se hva som skal være u, v osv..:/

[MatteNoob]

[tex]f\prime(x) = (x^2)\prime \cdot \sin(3x^2-1) + x^2 (\sin(3x^2-1))\prime[/tex]

[tex]= 2x \cdot \sin(3x^2-1) + x^2 \cos(3x^2-1)\cdot (6x)[/tex]

[tex]= 2x\sin(3x^2-1) + 6x^3\cos(3x^2-1)[/tex]


Mao

[tex]g(x) = \sin(3x^2-1)[/tex]

[tex]g\prime(x) = \cos(3x^2-1) \cdot (6x) = 6x\cos(3x^2-1)[/tex]

[ambitiousnoob]

Takk skal du ha

Jeg tror jeg forstod den nå:)

[Nebuchadnezzar]

Kan bare skrive hvordan jeg ville løst denne oppgaven. God føring og en tunge bent i munnen er en slager her.

[tex] f\left( x \right) = {x^2}\sin \left( {3{x^2} - 1} \right) [/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}\left( {uv} \right) = \frac{d}{{dx}}u \cdot v + \frac{d}{{dx}}v \cdot u [/tex]

[tex] u = {x^2}{\rm{ }},{\rm{ }}\frac{d}{{dx}}u = 2x{\rm{ }}og{\rm{ }}v = \sin \left( {3{x^2} - 1} \right){\rm{ }},{\rm{ }} \frac{d}{dx}v = 6x\cos \left( {3{x^2} - 1} \right) [/tex]

[tex]\frac{d}{{dx}}\left[ {f\left( {g\left( x \right)} \right)} \right] = \frac{d}{{dx}}f\left( {g\left( x \right)} \right) \cdot \frac{d}{{dx}}g\left( x \right) [/tex]

[tex] f\left( {g\left( x \right)} \right) = \sin \left( {g\left( x \right)} \right){\rm{ }}{\rm{, }}\frac{d}{{dx}}f\left( {g\left( x \right)} \right) = \sin \left( {g\left( x \right)} \right) [/tex]

[tex] g\left( x \right) = 3{x^2} - 1{\rm{ }},{\rm{ }}\frac{d}{{dx}}g\left( x \right) = 3{x^2} - 1 [/tex]


[tex] f\left( x \right) = {x^2}\sin \left( {3{x^2} - 1} \right) [/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = 2x \cdot \sin \left( {3{x^2} - 1} \right) + 6x\cos \left( {3{x^2} - 1} \right) \cdot {x^2} [/tex]

[tex] \underline{\underline {\frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = 2x \cdot \left[ {\sin \left( {3{x^2} - 1} \right) + 3{x^2}\cos \left( {3{x^2} - 1} \right) \cdot {x^2}} \right]}} [/tex]

Litt raskere ført under, for eksempel om man sitter på en prøve ^^

[tex] f\left( x \right) = {x^2}\sin \left( {3{x^2} - 1} \right) [/tex]

[tex] u = {x^2}{\rm{ }},{\rm{ }}\frac{d}{{dx}}u = 2x{\rm{ }}og{\rm{ }}v = \sin \left( {3{x^2} - 1} \right){\rm{ }},{\rm{ }}\frac{d}{dx} v = 6x\cos \left( {3{x^2} - 1} \right) [/tex]

[tex] f\left( {g\left( x \right)} \right) = \sin \left( {g\left( x \right)} \right)\;\;{\rm{,}}\;\;\frac{d}{{dx}}f\left( {g\left( x \right)} \right) = \sin \left( {g\left( x \right)} \right)\;\;\;\;g\left( x \right) = 3{x^2} - 1\;\;,\;\;\frac{d}{{dx}}g\left( x \right) = 3{x^2} - 1 [/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = 2x \cdot \sin \left( {3{x^2} - 1} \right) + 6x\cos \left( {3{x^2} - 1} \right) \cdot {x^2} [/tex]

[tex] \underline{\underline {\frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = 2x \cdot \left[ {\sin \left( {3{x^2} - 1} \right) + 3{x^2}\cos \left( {3{x^2} - 1} \right) \cdot {x^2}} \right]}} [/tex]

En slager når man bedriver kjerneregelen er bare å behandle g som en konstant når man tuller med f . =)

[ambitiousnoob]

Hei!

Takk for en nydelig framstilling!:)

Jeg må bare spørre, hva er det som skjer mellom disse to linjene:


[tex] \frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = 2x \cdot \sin \left( {3{x^2} - 1} \right) + 6x\cos \left( {3{x^2} - 1} \right) \cdot {x^2} [/tex]

[tex] \underline{\underline {\frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = 2x \cdot \left[ {\sin \left( {3{x^2} - 1} \right) + 3{x^2}\cos \left( {3{x^2} - 1} \right) \cdot {x^2}} \right]}} [/tex]

Såvidt jeg kan se er eneste forandringen at det først står [tex]6xcos[/tex] og så står det [tex]3x^2cos[/tex]?

------------------------------------------------------

Kan ikke skjønne hvorfor jeg skal rote sånn med dette, det kan da ikke være så vanskelig *frustrert*

[Nebuchadnezzar]

Det som skjer der, er noe som kalles en god gammeldags skrivefeil :p

[tex] \underline{\underline {\frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = 2x \cdot \left[ {\sin \left( {3{x^2} - 1} \right) + 3{x^2}\cos \left( {3{x^2} - 1} \right) \right] [/tex]

Er riktig. Eneste som skjer er at jeg faktoriserer ut 2x. Jeg liker å faktorisere svaret mitt mest mulig, men jeg tror ikke det er krav om det.

[ambitiousnoob]

Ah da er jeg med he he

Hvis jeg kan hive ut en oppgave til:

[tex]y=sin\ sqrt{x^2+1}[/tex]

Blir det her kun kjerneregelen?

At man kan sette:

[tex]u=sin\ sqrt{x^2+1}[/tex]

[tex]u`=cos \ sqrt{x^2+1}\cdot 2x[/tex]

EDIT: Det blir vel rimelig ulogisk ettersom man da ikke har en yttre funksjon?

[Nebuchadnezzar]

Bruk definisjonen så blir alt mye lettere

[tex][f(g(x))]^{\tiny\prime} \, = \, f^{\tiny\prime}(g(x)) \, \cdot \, g^{\tiny\prime}(x)[/tex]

[tex]f(g(x)) \, = \, sin(g(x))[/tex] og [tex]g(x)=\sqrt{x^2+1}[/tex]

Osv =)

[ambitiousnoob]

Ok prøver å legge fram her da:)

[tex][f(g(x))]^{\tiny\prime} \, = \, f^{\tiny\prime}(g(x)) \, \cdot \, g^{\tiny\prime}(x)[/tex]

[tex]f(g(x)) \, = \, sin(g(x))[/tex] og [tex]g(x)=\sqrt{x^2+1}[/tex]



[tex]y`=cos \ sqrt{x^2+1}\cdot \frac{1}{2}(x^2+1)^{-\frac{1}{2}[/tex]

Er man på rett vei da?

[Nebuchadnezzar]

Nesten riktig, bare husk på at

[tex]g^{\tiny\prime}(x) \, = \, \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}[/tex]

pga kjerneregelen