Vanskelig bestemt integral 2

[Nebuchadnezzar]

Lite integralproblem her.

[tex]\int_{0}^{\infty} 1 - x \, \sin\left( \frac{1}{x} \right) \, \text{dx}[/tex]

Fasiten sier [tex]\frac{1}{4} \pi [/tex] men vet ikke heelt hvor jeg skal begynne. Tenker kanskje derivasjon, men kommer ikke helt igang.

[drgz]

Hvis du skriver om

[tex]1-x\sin\left(\frac1x\right)[/tex]

til

[tex]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}\left(\frac1x\right)^{2k}}{(2k+1)!}[/tex]

så får du

[tex] I = \left[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+2}\left(\frac1x\right)^{2k-1}}{(2k+1)!(2k-1)}\right]_0^{\infty} [/tex]

Jeg skal ikke påstå at jeg klarer å sjekke grensen [tex]x\to0[/tex] selv, men i følge Wolfram blir grensen svaret du har oppgitt hvis man ser på [tex]x\to0^+[/tex]. For [tex]x\to0^-[/tex] blir det minus samme svaret.

Når [tex]x\to\infty[/tex] er det opplagt at summen går mot null - så det er den nedre grensen som er tricky.

[Nebuchadnezzar]

Da fikk denne en løsning og =) En venlig sjel viste meg hvordan.

Ble en dobbel delvis, og noen snertne substitusjoner som førte frem.

Endte opp med å evaluere en stygg grense og et kjent integral

[tex]\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx [/tex]

Kanskje legge inn løsning her snart =)