Kolineære punkter i R3

[Aleks855]

Hei,

I en oppgave ble jeg bedt om å undersøke hvorvidt tre punkter A, B og C, ligger på samme linje.

Jeg laget vektorer AB og AC, og lagde en parameterfremstilling for begge linjene.

Jeg satte begge parameterfremstillingene opp mot hverandre, slik at x=x, y=y og z=z, og fant ut at parameteren t ble lik 0 i alle tilfellene.

Er dette grunnlag nok for å si at ja, de er kolineære, og get on with my day, eller burde jeg bevise det på en annen måte?

På forhånd takk!

Aleks

[Vektormannen]

Det kan være jeg misforstår hva du har gjort. Hvis begge parameterfremstillingene tar utgangspunkt i samme punkt (altså samme punktverdi for t = 0) så vil du få t = 0 uansett, fordi linjene krysser hverandre. Men de er likevel forskjellige linjer, siden det kun er ved t = 0 at x = x, y = y og z = z for hver av linjene. Dersom de hadde overlappet hverandre burde du fått at t kan være alle mulige verdier.

En annen måte å gjøre dette på er å bare sjekke om vektorene mellom punktene (eller fra et av punktene til de to andre) er parallelle. Hvis de er det så må jo punktene ligge på en linje.

[Aleks855]

Ok, så siden de tar utgangspunkt i punktet A begge to, så kan vi si at dersom kryssproduktet ABxAC = 0, så ligger alle 3 punktene på samme linje?

[Vektormannen]

Ja, det er også en måte å gjøre det på. Alternativt kan du bare sjekke om det finnes en k slik at [tex]\vec{AB} = k \vec{AC}[/tex].

[Aleks855]

Ah, der sier du min store svakhet når det kommer til vektorregning. Det er vel det som er "the" måte å løse denne oppgaven på.

Er det da bare å sjekke forholdet mellom de to vektorenes X-verdi, og se om det er den samme som forholdet mellom Y-verdiene?

[Vektormannen]

Det stemmer

[Aleks855]

Takk for hjelpa, VM Er ofte jeg glemmer hvordan man EGENTLIG skal gjøre ting, så jeg må ty til i overkant kreative og tungvinte metoder