fluks ut avlegeme med divergenstheoremet

[gill]

Vi skal finne fluks ut av et område avgrenset av x y og z akse og et legeme i første oktant. F er gitt ved:

F=xi+yj+zk

I fasit står det at fluks ut gjennom koordinatplanene er 0 som de ser fra F. Men kan ikke F være negativ. Si at fluks er i retning -y. F blir jo neg men er fluks 0 da?

Her er oppgaven (oppgave 7a)

http://bildr.no/view/890021

Her er fasit:

http://bildr.no/view/890019

[Vektormannen]

Det de mener er at det ikke går noen fluks gjennom xy-planet, xz-planet eller yz-planet. Ta f.eks. xy-planet. Alle punkter i dette planet er bestemt av at z = 0. Men når z = 0 så er F parallell med xy-planet, så det går ingen fluks gjennom. Det samme skjer for de to andre koordinatplanene. Derfor kan de også nøye seg med å bare se på flaten S, siden alle de andre flatene som avstenger området ligger i xy-, yz- eller xz-planene.

[gill]

hvordan regner man ut volumet til figuren. Merker jeg trenger litt hjelp med volum her (heter denne type figur noe? Det er jo ikke et regulært tetraeder)

[Vektormannen]

Det er en pyramide (som det finnes formler for areal av), men hvis du tenker deg litt om og tegner litt, ser du at figuren er som en rektangulær boks som er kuttet i to? Boksen har volum 1 * 2 * 3 = 6, og halvparten av dette er 3.

[gill]

volumet er 1, et stemmer med fasit. Jeg fant akkurat formel for det på internett, 1 tredjedel av arealet til en figur med trekant som base ganget med høyde (en tredjedel av en tresidig prisme). Så får vel stole på det, klarer ikke å se for meg hvordan jeg skal se volumet selv om det hadde vært latterlig morsomt å kunne gjøre:)

Er vist slik for alle type volumlegemer med forskjellige baser som møtes i et punkt å toppen (litt lettere å huske hvert fall) Lurer på om det finnes utgreining. Samme for rekatangulær pyramide og:)

Mon tro om man klarer å integrere seg fram til dette?

[Vektormannen]

Volumet er 1 ja, sorry. Der tenkte jeg helt feil! Som du sier blir volumet 1/3 av volumet av et prisme. Alternativt kan du se på dette som en pyramide med trekantet grunnflate PQS, og da har man at [tex]A = \frac{1}{6}(\vec{PQ} \times \vec{PS}) \cdot \vec{PR}[/tex], der R er 'topp-punktet' i pyramiden.

Du kan selvfølgelig integrere deg frem også. Hvis man sier at z er gitt, så vil y begrenses til [tex]0 \leq y \leq 2 - \frac{2}{3} z[/tex] og x til [tex]0 \leq x \leq 1 - \frac{1}{3}z[/tex]. Hvis man da lar y løpe over det gitte intervallet så vil x, for hver y-verdi, bli låst til å løpe fra 0 og til linja mellom "maksimumspunktene" til x og y for den gitte z-verdien. Denne linja er gitt ved [tex]x = 1 - \frac{1}{3}z - \frac{1}{2}y[/tex]. Det gir trippelintegralet [tex]V = \iiint_R dV = \int_0^3 \ \int_0^{2 - \frac{2}{3}z} \ \int_0^{1 - \frac{1}{3}z - \frac{1}{2}y} dx dy dz[/tex].

En alternativ måte å se det på er å se at arealet av en slik trekant i høyde ved en gitt z-verdi må ha areal gitt ved [tex]A(z) = \frac{1}{2}x_m y_m = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3}z)(2 - \frac{2}{3}z)[/tex] der [tex]x_m[/tex] og [tex]y_m[/tex] er lengdene av sidene, som avhenger av z, slik at [tex]V = \int_0^3 \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3}z)(2 - \frac{2}{3}z) dz[/tex].

EDIT: hadde feil integrasjonsgrenser