Max/min

[Tarzan]

Oppgaven er:
Finn rektangelet begrenset av ellipsen x^2+2y^2=1 som gir det maksimale arealet. Rektangelet har lengde 2x og bredde 2y.

Har prøvd å løse dette problemet med lagrangemultiplikator. Kommer ikke fram til noen fornuftig løsning. Noen som har et forslag til løsningsmetode?

[Janhaa]

har du noe fasitsvar her...

[Janhaa]

hva med;

[tex]A(x)=A=(2x)*(2y)=2x*\left(2\sqrt{0,5(1-x^2)}\right)[/tex]

[tex]A(x)=x*\left(\sqrt{1-x^2}\right)[/tex]

deriver så A(x), dvs[tex]\,\,A^,(x)=0[/tex]
dvs
[tex]x=\frac{\sqrt5 - 1}{2}[/tex]
der

[tex]A_{max}=A(\frac{\sqrt5 - 1}{2})[/tex]

[krje1980]

Arealet av rektangelet er gitt ved:

[tex]A = 4xy[/tex]

Og begrensningene til arealet er gitt av ellipsen ved:

[tex]x^{2} + 2y^{2} = 1[/tex]

Vi kan løse dette gjennom bruk av Lagrange multiplier som følger:

Vi setter:

[tex]L(x, y, \lambda) = 4xy + \lambda(x^{2} + 2y^{2} - 1)[/tex]

Vi har da:

[tex] \frac{\partial L}{\partial x} = 4y + 2\lambda x = 0[/tex]

[tex] \frac{\partial L}{\partial y} = 4x + 4\lambda y = 0[/tex]

[tex] \frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^{2} + 2y^{2} - 1 = 0[/tex]

Dette gir for [tex]\frac{\partial L}{\partial y}[/tex]:

[tex]4\lambda y = -4x[/tex]

[tex]\lambda y = -x[/tex]

[tex]\lambda = -\frac{x}{y}[/tex]

Setter inn i uttrykket for [tex]\frac{\partial L}{\partial x}[/tex]:

[tex]4y + 2(-\frac{x}{y})x = 0[/tex]

[tex]4y - \frac{2x^{2}}{y} = 0[/tex]

[tex]4y^{2} - 2x^{2} = 0[/tex]

[tex]x^{2} = 2y^{2}[/tex]

Dette kan vi så sette inn i uttrykket for [tex]\frac{\partial L}{\partial \lambda}[/tex]:

[tex]x^{2} + x^{2} = 1[/tex]

[tex]2x^{2} = 1[/tex]

[tex]x^{2} = \frac{1}{2}[/tex]

[tex]x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]

I og med at vi her kun kan bruke positive verdier til den geometriske figuren har vi dermed at [tex]x = \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]. Vi setter dette inn i uttrykket [tex]x^{2} = 2y^{2}[/tex] og får da:

[tex]\frac{1}{2} = 2y^{2}[/tex]

[tex]y^{2} = \frac{1}{4}[/tex]

[tex]y = \pm \frac{1}{2}[/tex].

Igjen er det bare den positive verdien som gjelder. Altså har vi funnet at:

[tex]x = \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex] og [tex]y = \frac{1}{2}[/tex]

[Tarzan]

Takk for svar!

Har et lite spørsmål til. Har en funksjon f(x,y). skal avgjøre om den eksitterer i (x,y)=(0,0). Når jeg sjekker langs linjer y=x får jeg at grensen går mot +-uendlig. Kan jeg da konkludere med at grensen ikke eksisterer?

[Vektormannen]

Ja. Hvis grensen skal eksistere skal funksjonen gå mot ett og samme tall når (x,y) går mot (0,0).

[Tarzan]

ok. Takk for svar