omskrivning fra x og y til uv-plan

[gill]

Jeg lurer på hvordan tenker man når man skriver om fra xy til uv-planet.

Det er oppgave 4 jeg lurer på:

http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4105 ... 05_08v.pdf

Her er fasit:

http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4105 ... 05_08v.pdf


Spørsmålet mitt er hvorfor vi integrere u fra -2 til 4 og ikke 0 til 6. Origo for uv-planet kan jo plasseres et punkt som gjør at man integrerer u fra 0 til 6.

[Vektormannen]

Hvorfor mener du at origo kan plasseres slik?

EDIT2: (glem det som sto her)

[gill]

nei jeg tenkte at hvis x=y=0 er u=v=0 for linjen u=y-2x og v=y+x.
Jeg ser at de gir linjer som er de i oppgaven men i oppgaven skjønner jeg ikke hvorfor de finner grensene fra. ser i hvert fall ut for meg som det har noe å gjøre med

y=2x-2 for u. Det landet jeg på siden x=y=0 så får man -2 så er litt forvirret over hvordan man finner grensene her.

[Vektormannen]

Det hjelper mye hvis du skisserer området. Da ser du at området er begrenset som følger:

[tex]y \leq 5 - x, \ y \leq 2x + 4, \ y \geq -x, \ \text{og} \ y \geq 2x - 2[/tex]. Med på det?

Nøkkelen til å se substitusjonen er å skrive om disse litt, og merke at det er mye felles i uttrykkene.

La oss se litt på ulikhetene parvis:
[tex]y \leq 5 - x \ \Leftrightarrow \ y + x \leq 5[/tex] og [tex]y \geq -x \ \Leftrightarrow \ y + x \geq 0[/tex]. Disse to ulikhetene sier det samme som [tex]0 \leq x+y \leq 5[/tex].

På samme måte med de to andre:
[tex]y \leq 2x+4 \ \Leftrightarrow \ y - 2x \leq 4[/tex] og [tex]y \geq 2x - 2 \ \Leftrightarrow \ y - 2x \geq -2[/tex]. Eller sagt på en annen måte: [tex]-2 \leq y - 2x \leq 4[/tex].

Da ser vi at om vi innfører u = x+y og v = y - 2x så får vi et helt rektangulært område med grenser [tex]0 \leq u \leq 5[/tex] og [tex]-2 \leq v \leq 4[/tex] og så videre slik fasiten har fortsatt.