lineær kombinasjon av sin and cos

[gill]

metoden er beskrevet her

http://pages.pacificcoast.net/~cazelais/252/lc-trig.pdf

er [tex]c_1cos\omega t+c_2 sin\omega t=Asin(\omega t + \phi)[/tex]

en trigonometrisk identitet eller kan den bevises?

[Vektormannen]

Du får det til å høres litt ut som identiteter er noe som ikke kan bevises. Det er de ikke, tvert i mot er jo de aller fleste identiteter utledet fra grunnleggende egenskaper ved funksjonene de sier noe om. Identiteten [tex]\cos^2 x + \sin^2 x = 1[/tex] utledes f.eks. ved hjelp av Pytagoras i enhetssirkelen.

Denne identiteten bevises enklest ved å ta utgangspunkt i identiteten [tex]\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b[/tex], slik de gjør i dokumentet du linker til. Da ser man at: [tex]A\sin(\omega t + \phi) = A(\sin \omega t \cos \phi + \cos \omega t \sin \phi) = A \cos \phi \cdot \sin \omega t + A \sin \phi \cdot \cos \omega t = c_1 \sin \omega t + c_2 \cos \omega t[/tex], der [tex]c_1 = A \cos \phi[/tex] og [tex]c_1 = A \sin \phi[/tex].

Siden man har to parametere A og [tex]\phi[/tex] her, kan disse tilpasses slik at man alltid kan finne A og [tex]\phi[/tex] slik at [tex]c_1[/tex] og [tex]c_2[/tex] er gitt ved disse formlene. Mer spesifikt velger vi [tex]A = \sqrt{c_1^2 + c_2^2}[/tex] og [tex]\phi[/tex] som vinkelen gitt ved [tex]\phi = \arctan \frac{c_2}{c_1}[/tex] (eller [tex]\phi = \arccos \frac{c_2}{A}[/tex] f.eks.) Dette blir veldig klart dersom du tegner deg en figur med en rettvinklet trekant med [tex]c_1[/tex] og [tex]c_2[/tex] som kateter og A som hypotenus.

[gill]

surrer sikkert fælt her men for meg virker det som om man viser at man kan skrive om på

[tex]c_1cos\omega t+c_2 sin\omega t=Asin(\omega t + \phi)[/tex]

hvor får man den fra i utgangspunktet?

[Vektormannen]

Det var dette jeg prøvde å forklare over. Det jeg mente med forklaringen var at hvis vi tar utgangspunkt i høyresiden, så er [tex]A \sin(\omega t + \phi)[/tex] nøyaktig det samme som [tex]A \cos \phi \sin \omega t + A \sin \phi \cos \omega t[/tex]. Hvis det er mulig å finne A og [tex]\phi[/tex] slik at [tex]c_1 = A \cos \phi[/tex] og [tex]c_2 = A \sin \phi[/tex], er du da med på at vi vil ha at [tex]c_1 \cos \omega t + c_2 \sin \omega t = A \sin(\omega t + \phi)[/tex]?

Det jeg så viste (og dette ser du hvis du tegner en trekant) er at hvis vi velger [tex]A = \sqrt{c_1^2 + c_2^2}[/tex] og [tex]\phi = \arctan \frac{c_2}{c_1}[/tex] så vil nettopp [tex]c_1 = A \cos \phi[/tex] og [tex]c_2 = A \sin \phi[/tex]!

Er du med på argumentasjonen her? Ser du nå hvorfor dette er bevist?

[gill]

Ok. Jeg er med:)

jeg klarer ikke å forestille meg det i planet men siden vi antar at


[tex]Asin\phi=c_1[/tex] og [tex]Acos\phi=c_2[/tex]

vil

[tex]A^2sin^2\phi=(c_1)^2[/tex] og [tex]A^2cos^2\phi=(c_2)^2[/tex]

vi legger sammen likhetene på hver side og får

[tex]A^2sin^2\phi+A^2cos^2\phi=(c_1)^2+(c_2)^2[/tex]

som blir

[tex]A^2=(c_1)^2+(c_2)^2[/tex] [tex]A=\sqrt{(c_1)^2+(c_2)^2}[/tex]


vinkelen får jeg ved

[tex]\frac{Asin\phi}{Acos\phi}=\frac{c_1}{c_2}[/tex]

[tex]tan\phi=\frac{c_1}{c_2}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

http://mathsathawthorn.pbworks.com/w/pa ... in-and-cos

[Vektormannen]

Det stemmer! Jeg ser jeg blandet c_1 og c_2 litt i utledningen over. Beklager det.

Se denne figuren:


Denne beskriver altså at vi kan uttrykke [tex]c_1[/tex] som [tex]c_1 = A \sin \phi[/tex] og [tex]c_2[/tex] som [tex]c_2 = A \cos \phi[/tex] -- hvis vi lar [tex]A = \sqrt{c_1^2 + c_2^2}[/tex] og [tex]\phi = \arctan \frac{c_1}{c_2}[/tex].

Og da får vi altså:

[tex]c_1 \cos \omega t + c_2 \sin \omega t = A \cos \phi \sin \omega t + A \sin \phi \cos \omega t = A \sin(\omega t + \phi)[/tex].