Integralet av (sin(x))^3 ?

[mstud]

Hei!

Så på eksempeloppgave 2008 i R2 at dette integralet dukket opp: [tex]\int (sin(x))^3[/tex]. Oppgaven var å vise at løsningen av [tex]3 \int (sin(x))^3[/tex]var [tex]1\cdot (cos(x))^3 + -3\cdot cos(x) + C[/tex]. Det kan jo gjøres på to måter, enten derivere løsningen eller regne ut integralet. Derivere løsningen for å vise at den er riktig, er greit nok, men ville gjerne visst hvordan dette integralet kan løses

Kan noen gi meg noen tips?

[tex]\int (sin(x))^3 = ...[/tex]

Pleier jo vanligvis å bruke delvis integrasjon på trig. , men ser ikke ut for at det hjelper så mye her, eller?

Substitusjon hjelper meg heller ikke så mye, så langt jeg kan se, men kanskje jeg ser feil...

Og delbrøksoppspalting er helt uaktuelt

edit: satte inn en konstant jeg hadde glemt å ta med...

[Nebuchadnezzar]

[tex]\, sin(x)^2 \, = \, 1 \, - \, \cos(x)^2 [/tex]

[Janhaa]

fikk ikke helt med meg om du trenkte hjelp, men;

[tex]I=\int\sin^3(x)\,dx=\int \sin(x)\sin^2(x)\,dx=\int \sin(x)\left(1-\cos^2(x)\right)\,dx[/tex]

[tex]u =\cos(x)[/tex]

[mstud]

fikk ikke helt med meg om du trenkte hjelp, men;

[tex]I=\int\sin^3(x)\,dx=\int \sin(x)\sin^2(x)\,dx=\int \sin(x)\left(1-\cos^2(x)\right)\,dx[/tex]

[tex]u =\cos(x)[/tex]

Jo, jeg trengte litt hjelp, og nå fikk jeg den

Tenkte på å skrive som [tex]sin(x) \cdot sin^2(x)[/tex] og så skrive den om, men nå ser jeg jo at det blir ikke spesielt vanskelig å bruke substitusjon for å komme meg litt videre derfra...

[tex]\int \sin(x)\left(1-\cos^2(x)\right)\,dx[/tex] Når u=cos(x), er [tex]\frac{du}{dx} =-sin(x)[/tex], dvs. [tex]dx=\frac {du}{-sin(x)}[/tex], og jeg får:

[tex]\int \sin(x)\left(1-\cos^2(x)\right)\,dx= \int \cancel{sin(x)} (1-u^2) \frac{du}{-\cancel{sin(x)}} = -\int (1-u^2) du=...[/tex] Stemmer det så langt?

[Nebuchadnezzar]

Ser da slik ut =)

[mstud]

Flott, da fortsetter jeg ...

[tex]-\int (1-u^2) du=-(u-\frac 13 u^3 + C_1 ) = -3cos(x) + cos^3(x)-C_1 =-3cos(x) + cos^3(x)+C[/tex] Stemmer det også, tror jeg...?

Så tusen takk for hjelpen

[Janhaa]

Flott, da fortsetter jeg ...
[tex]-\int (1-u^2) du=-(u-\frac 13 u^3 + C_1 ) = -3cos(x) + cos^3(x)-C_1 =-3cos(x) + cos^3(x)+C[/tex] Stemmer det også, tror jeg...?
Så tusen takk for hjelpen

bare for ordens skyld...
[tex]-\int (1-u^2) du=\int (u^2 - 1)\,du[/tex]

[mstud]

Flott, da fortsetter jeg ...
[tex]-\int (1-u^2) du=-(u-\frac 13 u^3 + C_1 ) = -3cos(x) + cos^3(x)-C_1 =-3cos(x) + cos^3(x)+C[/tex] Stemmer det også, tror jeg...?
Så tusen takk for hjelpen

bare for ordens skyld...
[tex]-\int (1-u^2) du=\int (u^2 - 1)\,du[/tex]

Sant nok, da kan jeg skrive:

[tex]-\int (1-u^2) du=\int (u^2 - 1) \ du =\frac 13 u^3 -u + C= cos^3(x) -3cos(x)+C[/tex] Og det ser jo enda litt penere ut