R2-eksamen V11

[gundersen]

Er det ikke bare R1 der? leste ikke gjennom hele tråden though

[lindakatt]

Men dere, hva har skjedd med de oppgavene hvor man kan velge alt.1 eller alt.2???

[gelali]

De har sluttet med det! Fra og med i år skal man svare på alle oppgavene på del 2.

[kimjonas]

Er jo det samme som står som eksempel i
Og et spørsmål til slutt: Er ikke AC x AB (vektorer) definert slik at det står vinkelrett på AC og AB? Føler 1d) blir litt sirkellogikk i så fall

[tex]\vec a\cdot \vec b=0 \,<=>\, \vec a \bot \vec b[/tex]

[tex]\vec a\times \vec b=\vec 0 \,<=> \,\vec a \,||\, \vec b[/tex]

Det sto ikke at [tex] \vec a[/tex] eller [tex] \vec v[/tex] ikke kunne være [tex] \vec 0 [/tex], så det er vel kanskje verdt å nevne at en av dem, eller begge, kan være 0-vektorer.

[Wency]

Har sett gjennom vurderingsskjemaet som sensorene bruker, og man får overraskende mye poeng bare for å tegne grafene og lage fortegnslinjene!

[Fibonacci92]

Er jo det samme som står som eksempel i
Og et spørsmål til slutt: Er ikke AC x AB (vektorer) definert slik at det står vinkelrett på AC og AB? Føler 1d) blir litt sirkellogikk i så fall

[tex]\vec a\cdot \vec b=0 \,<=>\, \vec a \bot \vec b[/tex]

[tex]\vec a\times \vec b=\vec 0 \,<=> \,\vec a \,||\, \vec b[/tex]

Jeg sikter til Oppgave 1e, var jeg som rotet:)

[\input{username}]

Ja, jeg syntes også det, men husk at det er mye skillz som må til for å lage en god graf. Selv hater jeg det, man lager tabell, akser med riktig tilpassede enheter, finner evt ekstremalpunkter og bruddpunkt/asymtoter og kanskje til og med vendepunkt for å få en så nøyaktig graf som mulig. Alt vel så langt, men idet jeg setter pennen på arket og skal tegne denne grafen som til nå har vært en nøyaktig vitenskap, blir den skjelven og skjev og alt ser plutselig ut som en barnetegning:( Synes håndtegnede grafer er meningsløs. Hurra for geogebra!

</rant>

[Nebuchadnezzar]

[tex]Oppgave1 \\ a)\;\;1)\;\;{f^\prime }\left( x \right) = 4\cos \left( {2x} \right) \\ \;\;\;\;\;2)\;\;{g^\prime }\left( x \right) = 2x\left( {\cos \left( {2x} \right) -x\sin \left( {2x} \right)} \right) \\ \;\;\;\;\;3)\;\;{h^\prime }\left( x\right) = \frac{1}{2}\frac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x} }} \\ b)\;\;1)\;\;{I_1} = \left( {x - 1} \right){e^x} + C \\ \;\;\;\;\;2)\;{I_2} = 2\ln\left| {x + 3} \right| + 3\ln \left| {x - 3} \right| + C \\ c)\;\;y = \sqrt{1 - {x^2}} \Rightarrow {y^2} + {x^2} = 1\;{\rm{sirkel}}\;\int_{ - 1}^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} = \frac{\pi }{2} \\ d)\;\;1\;\;\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} \bot \vec{b} \Rightarrow {\rm{Vinkelen er 90 grader }}{\rm{, a staar vinkelrettp{\aa} b}}{\rm{.}} \\ \;\;\;\;\;2)\;\;\vec{a} \times \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \sin \left( \alpha \right) =0 \Rightarrow \alpha = 0 \vee 180\;\;{\rm{a og b er parallele}} \\ \qquad {\rm{selvsagt kan en av vektorene ogsa ha lengde null}{\rm{,}} \\ e)\;\;\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left[ { -10,5,5} \right]\;,\;\vec{n} \cdot \vec{AB} = \left[ { - 10,5,5} \right\left[ {1, - 2,4} \right] = - 10 - 10 + 20 = 0 \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\;\vec{n} \cdot \vec{AC} = \left[ { - 10,5,5}\right]\left[ {2,1,3} \right] = - 20 + 5 + 15 = 0 \\f)\;\;1 + 4 + ... + {4^{n - 1}} = \frac{{{4^n} - 1}}{3},VS = 1,HS = \frac{{{4^1} - 1}}{3} = 1\;\;,\;\;n = k \\ n = k + 1\;,\;VS = \left( {1 + ... + {4^{k - 1}}} \right) + {4^k} = \frac{{{4^k} - 1}}{3} + {4^k} = \frac{{4 \cdot{4^k} - 1}}{3} = \frac{{{4^{k + 1}} - 1}}{3}\;,\;HS = \frac{{{4^{k+ 1}} - 1}}{3} \\ Oppgave2 \\ a)\qquad y\left( x \right) = C{e^{2x}} - \frac{5}{2} \\ b)\;\;1)\;\;\; y\left( x \right) = \frac{9}{2}{e^{2x}} - \frac{5}{2} \\ \;\;\;\;\;2)\;\;\; y\left( x \right) = \frac{{49}}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}\ln \left( 6 \right) =\frac{{1.8}}{2} = 0.9 \\ c)\;\;T = 9x + 2 \\ \qquad \;\;\;\;\;\;{ \\[/tex]

Jækla latex :p

[espen180]

Jeg vil bare bemerke at i oppgave 1e) burde det ikke være nødvendig å nevne tilfellet a=0 og/eller b=0, ettersom nullvektoren er parallell med og ortogonal til alle andre vektorer med samme antall komponenter.

[Fibonacci92]

Hvordan tegner man nullvektor da?:)

[Nebuchadnezzar]

Oppgave3

[tex] a)\;\;d = 2r = 2\sqrt {6/e} \approx 2.97\;\;,\;\;e \approx 8/3 \Rightarrow 2\sqrt {\frac{6}{{8/3}}} = 2\sqrt {18/8} = 2\sqrt {9/4} = 3 [/tex]

[tex] b)\;\;\pi \int\limits_0^4 {{{\left( {2\sqrt x {e^{x/3}}} \right)}^2}dx} = 3\pi \left( {3 - 11{e^{ - 8/3}}} \right) \approx 21.071\;,\;\pi \int\limits_0^\infty {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}dx} = 9\pi \approx 28.274 [/tex]

Oppgave4

[tex] a)\;\;1)\;\;{B_n} = \frac{{16}}{{{2^n}}},{A_n} = \frac{8}{{{2^n}}},{T_n} = \frac{1}{2}\left( {{B_n} + {B_{n - 1}}} \right){A_n} = \frac{{192}}{{{4^k}}},{T_1} = 48,{T_2} = 12, \ldots [/tex]

[tex] 2)\;\;{\rm{geometrisk siden}}\;\frac{{{T_{n + 1}}}}{T} = \frac{1}{4}\;,\;{\rm{konvergerer siden}}\;\left| {\frac{1}{k}} \right| < 1 [/tex]

[tex] b)\;S = \frac{{{a_1}}}{{1 - k}} = \frac{{48}}{{1 - \frac{1}{4}}} = 64\;\;{\rm{Trapesene summeres til arealet av trekanten}}\;ABC = \frac{{16 \cdot 8}}{2} = 64 [/tex]

Oppgave5

[tex] a)\;\;A = \left( {9,1,0} \right),B = \left( {11,0, - 2} \right),\left| {AB} \right| = 3[/tex]

[tex] b)\;\;{n_m} = \left[ {1, - 1,1} \right]\;,\;{n_l} = \left[ { - 2,1,2} \right]\;,\;l\parallel m = 0 \Leftrightarrow {n_m} \cdot k = {n_l} [/tex]

[tex] \;\;k\left[ {1, - 1,1} \right] = \left[ { - 2,1,2} \right] \Leftrightarrow k = \frac{{ - 2}}{1} = \frac{1}{{ - 1}} = \frac{2}{1}\;\;{\rm{som vi ser ikke stemmer}} [/tex]

[tex] c)\;P\left( {5 - 2t,3 + t,4 + 2t} \right),Q\left( {s,1 - s,1 + s} \right),PQ = OQ - OP = \left[ {s + 2t - 5, - s - t - 2,s - 2t - 3} \right] [/tex]

[tex] d)\;solve\left( {{n_m} \cdot PQ = 0,{n_l} \cdot PQ = 0} \right) \Rightarrow s = 2,t = 0 \Rightarrow P\left( {5,3,4} \right) \wedge Q\left( {2,-1,3} \right) [/tex]

[tex] e)\; {\rm{korteste avstand er en linje som staar vinkelrett paa begge}}{\rm{, dette er PQ}} [/tex]

[tex] \;\;\;d = \left| {PQ} \right| = \sqrt {{{\left( {2 - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {9 + 16 + 1} = \sqrt {26} [/tex]

Oppgave6

[tex] a)Amplitude = 2\sqrt 5 \approx 7.07,frekvens = 24,f\left( x \right) = - 5\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4}\left( {\frac{\pi }{3}x + 1} \right)} \right) [/tex]

[tex] b)Bunn\left( {3, - 5\sqrt 2 } \right),Topp\left( {15,5\sqrt 2 } \right) [/tex]

[tex] c)Bunn\left( {3,22 - 5\sqrt 2 } \right),Topp\left( {15,22 + 5\sqrt 2 } \right) [/tex]

Oppgave7

[tex] b)\;\,1)\;f\left( x \right) = 5{x^2} \cdot {e^{ - x}},{f^\prime }\left( x \right) = 10x \cdot {e^{ - x}} - 5{x^2}{e^{ - x}} = 5\left( {2x - {x^2}} \right){e^{ - x}},{\rm{produktregel}} [/tex]

[tex] b)\;\,2)\;\,{f^\prime }\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {0,2} \right),{f^\prime }\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {2,\infty } \right],Topp\left( {2,20{e^{ - 2}}} \right) [/tex]

[tex]c)\; F\left( x \right) = - 5{x^2}{e^{ - x}} - 10x{e^{ - x}} - 10{e^{ - x}}, [/tex]

[tex] {F^\prime }\left( x \right) = \left( { - 10x{e^{ - x}} + 5{x^2}{e^{ - x}}} \right) - 10{e^{ - x}} + 10x{e^{ - x}} + 10{e^{ - x}} = 5{x^2}{e^{ - x}} [/tex]

[tex] d)\;{\lim }\limits_{a \to \infty } \int\limits_0^a {f\left( x \right)dx} = {\lim }\limits_{a \to \infty } \left[ { - 5{e^{ - x}}\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)} \right]_0^a = 0 - \left( { - 5\left( 2 \right)} \right) = 10 [/tex]

[stjernen1991]

Oppgave 5a:

Kan du forklare denne nærmere? Trodde at hvis et punkt på linja skjærte xy-planet ville Y=0, og ikke X?

[Nebuchadnezzar]

Tenk deg ei linje [tex]y = x -2[/tex] , hvordan finner du ut hvor denne linja skjærer y-aksen?

[mstud]

Oppgave 5a:

Kan du forklare denne nærmere? Trodde at hvis et punkt på linja skjærte xy-planet ville Y=0, og ikke X?

Hvis et punkt på linja skjærer xy-planet er z=0.

[stjernen1991]

Men har vi ikke fått oppgitt en linje med visse parametere? Og hva er z-koordinaten for et punkt i xy-planet? Mulig jeg er helt på viddene her, men fint om du kunne forklare denne

Edit: Forrige post. Mente selvsagt z og ikke y. Tenker på utregningene til nebu, da han har satt x-koordinat lik 0 når linja skjærer xy-planet. Enlighten me