Ta utgangspunkt i denne tegningen her
Vi har to linjer [tex]\blue{y\,=\,a_1x+b}[/tex] og [tex]\red{a_2x+c}[/tex]
Der [tex]a_1>0[/tex] og [tex]a_2<0[/tex] (Ellers vil jo aldri linjene krysses)
Vi beveger oss en enhet til høyre fra A. Vi befinner oss da i punktet D. Beveger viss oss opp til punktet B har vi avlagt en avstand [tex]a_1[/tex].
(Siden stigningstallet [tex]a=\frac{y}{x}=\frac{a_1}{1}[/tex])
På samme måte så har vi beveget oss ned [tex]a_2[/tex] enheter til C. Denne er da negativ, siden vi har sagt at [tex]a_2[/tex] er negativ.
Bruker vi pytagoras ser vi at [tex]AC^2=(1^2+(a_2)^2)[/tex]
Lengden av a_2 er åpenbart positiv =)
Gjør det samme med AB
[tex]AB^2=(1^2+(a_1)^2)[/tex]
Nå bruker vi pytagoras på trekanten ABC der hypotenusen er [tex]a_1 + (-a_2)[/tex]
Resten er bare algebra
[tex]AB^2+AC^2=BC^2[/tex]
[tex]((1^2+(a_1)^2))+(1^2+(a_2)^2)=(a_1+(-a_2))^2[/tex]
[tex]1 + {\left( {{a_1}} \right)^2} + 1 + {\left( {{a_2}} \right)^2} = \left( {{{\left( {{a_1}} \right)}^2} - 2{a_1}{a_2} + {{\left( {{a_2}} \right)}^2}} \right) [/tex]
[tex] 2 = - 2{a_1}{a_2} [/tex]
[tex] {a_1}{a_2} = - 1 [/tex]
[tex] {a_1} = - \frac{1}{{{a_2}}} [/tex]
Q.E.D