integral av områder mellom to overflater

[gill]

nå har jeg kjørt meg fast her. Lurer på 3b.

http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4105 ... 05_04k.pdf

her er fasit:

http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4105 ... 05_04k.pdf


Hvordan de finner volum. Jeg er rimelig grønn på fasiten. Skjønner at de tenker prinsippet søyler fra del av paraboloiden til planet. De kunne vel like så gjerne gått fra planet til paraboloiden eller gjør dette en forskjell? Jeg blir litt satt ut når de sier at

[tex]x^2+y^2\leq2x[/tex] fordi fra tegningen virker det som om planet ligger innenfor paraboloiden og da er vel x-koordinater til paraboloiden større?

Etter det lurte jeg og på hvordan de finner integrasjonsgrensene og hvordan de tenker søylene fra starten av plassert i koordinataksene. Er det projektert ned i planet eller hvordan blir det. De integrerer jo bare en halvsirkel.

[Vektormannen]

I det interessante området så er paraboloiden under planet. Punktene på paraboloiden har en z-koordinat gitt ved [tex]x^2 + y^2[/tex]. Punktene på planet har en z-koordinat gitt ved 2x. Siden paraboloiden er underst i det interessante området, har vi altså at [tex]x^2 + y^2 \leq 2x[/tex].

De integrerer ikke bare over en halvdisk. I stedet for den "vanlige" parameteriseringen av randsirkelen, er den her gitt ved polarfunksjonen [tex]r = 2 \cos \theta[/tex]. Når [tex]\theta = 0[/tex] får vi punktet (2, 0). Når [tex]\theta = \pi/2[/tex] får vi punktet (0,0). Så [tex]\theta \in [0, \pi/2][/tex] gir halvsirkelen over y-aksen. Av symmetrien i cosinusfunksjonen ser vi at [tex]\theta \in [-\pi/2, 0][/tex] må gi halvdelen under y-aksen. At dette i det hele tatt blir en sirkel ser du ved å ta utgangspunkt i [tex]x^2 + y^2 = 2x \ \Leftrightarrow \ x^2 - 2x + 1 + y^2 = 1 \ \Leftrightarrow \ (x-1)^2 + y^2 = 1[/tex]. Så dette er en sirkel med senter i (1,0) og radius 1.

En alternativ måte å iterere integralet på er å innføre [tex]x = r \cos \theta + 1[/tex] og [tex]y = r \sin \theta[/tex]. Da får vi iterasjonen

[tex]V = \int_0^{2\pi} \ \int_0^1 [2(r \cos \theta + 1) - (r^2 cos^2 \theta + 2 r \cos \theta + 1 + r^2 \sin^2 \theta)] r dr d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 [1 - r^2]r dr d\theta[/tex]

[gill]

Hvis jeg har forstått noe av det du sier riktig:)

man har ser på grensene for z vil man når man ser oppover fra xy-planet i positiv retning se at planet z=2x alltid ligger litt over

[tex]z=x^2+y^2[/tex] så når man integrere for z først så er z=2x øvre grense.

Så har man projeksjonen av området ned i xy-planet:

x går fra 0 til 2. Siden langs z-aksen når y=0 skal

[tex]2x=x^2[/tex] stemme.

Fra symmetri ser man at y er størst når z har halvveis av maksverdi som er z=2. Man ser og fra symmetri at da er x=1 og y er -1 eller +1.

Sånn tenkte jeg. Og da kan man starte å integrere fra


[tex]2 r cos\theta[/tex]

som med r=1 vil være 2 og da er senter for integreringen i senter av projeksjonen av sirkelen i xy-planet?

jeg ser at det er symmetrisk om y-aksen men skjønner ikke hvordan de forkorter integreringen på grunn av det hvis det er det de gjør, fremdeles.

[Vektormannen]

Jeg tror du kanskje har misforstått det litt. [tex]r = 2 \cos \theta[/tex] er en polarfunksjon som har sirkelen som graf når [tex]\theta[/tex] går fra [tex]-\pi/2[/tex] til [tex]\pi/2[/tex]. For hver vinkel [tex]\theta[/tex] så er radien gitt ved [tex]2 \cos \theta[/tex]. Det er da snakk om radien fra origo, og ikke fra sentrum i sirkelen. En figur:



Radien [tex]r[/tex] er altså lengden til disse linjestykkene som er vist. Den er gitt som en funksjon av vinkelen, og er altså gitt ved [tex]2 \cos \theta[/tex]. Ser du nå at [tex]\theta \in [-\pi/2, pi/2][/tex] vil gi hele sirkelen?

Som jeg viste ovenfor kan sirkelen også parameteriseres ved å la sentrum for polarkoordinatparameteriseringen være (1,0). Det blir omtrent et like greit integral uansett hvilken måte man velger å beskrive sirkelen på.

[gill]

Ok:)

Uansett hvilken framgangsmåte man bruker må man ta høyde for at volumet ikke er gitt ved koordinater rundt origo. Så derfor blir det å integrere over et område hvor z som er gitt av x og y er større siden x og y er lengre vekk enn fra origo? Det er det jeg sleit med å forstå hvis det stemmer.


Når du har forklart det for meg kommer jeg i hvert fall på at alle odde tall som har odde konstant (her 1) foran argument for vinkel i polarintegrasjon gjentar seg selv etter 180 grader så når du sier det og jeg tenker på en gammel eksamensoppgave kommer det fram at jeg har vært borti problemstillingen før.

[Vektormannen]

Det stemmer. Projeksjonen av snittflaten er en sirkel som ikke har sentrum i origo, i motsetning til hva du kanskje er vant med. Et tips når du møter på slike vanskelige flater som det ikke er så lett å iterere over på "vanlig" måte (dele opp i skiver osv.) er å se på projeksjonen som snittflaten danner i f.eks. xy-planet. Det gjør du ved å sette uttrykkene for z lik hverandre slik de har gjort her. I dette tilfellet får du da altså [tex]x^2 + y^2 = 2x[/tex] som er sirkelen med radius 1 og senter i (1,0). Når du vet det, så vet du at ved å integrere over dette området vil du dekke hele figuren i x- og y-retning.

[gill]

her er en ny lignende oppgave:

http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4105 ... 05_02v.pdf

fasit

http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4105 ... 05_02v.pdf

oppgave 7 er den som ligner. Jeg tenkte at siden man skulle finne en sirkel med radius a og senter til sirkelen var i x=0 og y=a ville denne sirkelen uansett kunne integreres ved r fra 0 til [tex]asin\theta[/tex]

med grenser fra 0 til [tex]\pi[/tex] men det blir feil. Hva er det som gjør at det blir feil

EDIT: Det fungerte derimot i b hvor vi skulle integrere over sirkel med senter i y=1 som jo var akkurat det samme som man gjorde i oppgaven den tråden her ble startet om

EDIT: Ser ut som man må ta utgangspunkt i sirkel å uttrykke r ved ligning for sirkelen vi vil integrere rundt og da vil r gå fra origo automatisk og følge sirkelen