areal av flate

[gill]

Jeg lurer på hvordan de kom fram til uttrykket for arealet til overflaten i oppgave 4 her:

http://bildr.no/view/890323


Det jeg lurte på var om det var implicit surface men jeg får det ikke helt til å gå opp. Jeg lurer altså på løsningsmetode 1.

Og da uttrykket for


[tex]d\sigma[/tex]

Her er fasit:

http://bildr.no/view/890326

Den alternative løsningen har jeg skjønt

[Janhaa]

mener du flateintegralet/flatearealet?

[tex]d\sigma=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy[/tex]

osv...
står sikkert i boka/formelsamlinga

[Vektormannen]

Ja, du kan tenke på det som en "implicit surface" gitt ved ligningen [tex]z - \ln(x^2 + y^2) = 0[/tex], hvis dette hjelper deg.

Du kan også tenke på z som en parameterisert flate, der x og y er parameterene. Du er sikkert kjent med formelen for flateelementet dS for parameteriserte flater? Hvis du benytter at x og y er parametere og z = f(x,y) så får du akkurat det uttrykket som er oppgitt i fasiten. En utledning av dette er vist her.

(Det gir jo også mening at [tex]d\sigma[/tex] bør være gitt ved [tex]\sqrt{1 + \left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\right)^2}[/tex]. Hvis du har et flateelement [tex]d\sigma[/tex] med en projeksjon [tex]dA[/tex] i xy-planet, så vil forholdet mellom de to arealene være gitt ved [tex]\frac{dA}{d\sigma} = \cos \theta[/tex], der [tex]\theta[/tex] er vinkelen som [tex]d\sigma[/tex] er "tiltet opp" med i forhold til dA. Denne vinkelen vil vi finne igjen som vinkelen mellom normalvektoren til dA og [tex]d\sigma[/tex], det vil si vinkelen mellom [tex]\vec{n}[/tex] og [tex]\hat k[/tex]. Normalvektoren til flaten i punktet (x,y) er [tex]\vec{n} = (-f_1(x,y), -f_2(x,y), 1)[/tex]. Dette gir:

[tex]d\sigma = \frac{dA}{\cos \theta} = \frac{dA}{\frac{\vec{n} \cdot \hat k}{|\vec{n}|}} = \frac{dA |\vec{n}|}{\vec{n} \cdot \hat k}[/tex]. Men [tex]\vec{n} \cdot \hat k = 1[/tex], slik at

[tex]d\sigma = dA \cdot |\vec{n}| = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\right)^2} dx dy[/tex]

[gill]

jeg må gjennoppta en gammel tråd.

Jeg lurer på hvordan man kommer fram til:

[tex]n\cdot k=1[/tex]?

komponent i z-retning må være av første grad og normalvektor til et plan er gradientvektoren. Men må z-komponent av gradient være 1. Jeg ser at du har skrevet at den er det her vektormannen. Så dette er myntet på når z-komponent er z kanskje da?

[Vektormannen]

Husk på at [tex]\hat k = (0,0,1)[/tex], så [tex]\vec{n} \cdot \hat{k} = -f_1(x,y) \cdot 0 -f_2(x,y) \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1[/tex].